[论文解读] T-duality for torus bundles with H-fluxes via noncommutative topology, II: the high-dimensional case and the T-duality group

Varghese Mathai, Jonathan Rosenberg|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文通过非交换拓扑方法将具有 H-扭的主环丛的 T-对偶性推广至高秩环丛，表明 T-对偶性始终可通过广义对偶实现——即根据上同调条件，对偶为经典丛或连续的非交换环族。关键结果是对 T-对偶为经典或非经典的完全刻画，并引入作用于此类丛分类空间的 T-对偶群 $GO(n,n;\mathbb{Z})$。

ABSTRACT

We use noncommutative topology to study T-duality for principal torus bundles with H-flux. We characterize precisely when there is a "classical" T-dual, i.e., a dual bundle with dual H-flux, and when the T-dual must be "non-classical," that is, a continuous field of noncommutative tori. The duality comes with an isomorphism of twisted $K$-theories, required for matching of D-brane charges, just as in the classical case. The isomorphism of twisted cohomology which one gets in the classical case is replaced in the non-classical case by an isomorphism of twisted cyclic homology. An important part of the paper contains a detailed analysis of the classifying space for topological T-duality, as well as the T-duality group and its action. The issue of possible non-uniqueness of T-duals can be studied via the action of the T-duality group.

研究动机与目标

• 将具有 H-扭的主环丛的 T-对偶性从秩-2 情况推广至任意高秩环丛。
• 精确确定 T-对偶为经典（具有对偶 H-扭的主环丛）还是非经典（连续的非交换环族）的条件。
• 构建拓扑 T-对偶性的分类空间，并分析 T-对偶群 $GO(n,n;\mathbb{Z})$ 的作用。
• 建立扭曲 K-理论与扭曲循环同调之间的同构，作为 D-膜电荷匹配的物理一致性条件。
• 通过 T-对偶群的作用解决 T-对偶的非唯一性问题。

提出的方法

• 使用非交换拓扑与连续迹 $C^*$-代数来建模具有 H-扭的时空，并通过 K-理论同构定义 T-对偶性。
• 应用 Dixmier-Douady 的连续迹代数与扭曲 K-理论理论对具有 H-扭的丛进行分类。
• 通过 H-扭在纤维上同调中的限制为零来刻画 T-对偶可实现性：$H^3(T) = 0$ 蕴含 T-对偶可实现。
• 当 $H^1(Z, H^2(T))$ 中 H-扭的上推为非平凡时，将 T-对偶定义为非交换环的连续场。
• 构建 T-对偶的分类空间，并证明当 $n=2$ 时，其可分解为经典与非经典两部分，且 $GO(n,n;\mathbb{Z})$ 通过同伦自同态作用于其上。
• 利用 Connes-Chern 示性类与扭曲循环同调，将经典 T-对偶中的上同调同构推广至非经典情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种上同调条件下，具有 H-扭的主环丛在广义意义下是 T-对偶可实现的？
• RQ2 何时 T-对偶为经典丛，何时必须为非交换环的连续场？
• RQ3 T-对偶群 $GO(n,n;\mathbb{Z})$ 如何作用于具有 H-扭的环丛的分类空间？
• RQ4 在非经典情形下，扭曲 K-理论的同构能否推广至扭曲循环同调？
• RQ5 T-对偶的非唯一性由何解释？T-对偶群如何解决此问题？

主要发现

• 具有 H-扭的主环丛在广义意义下 T-对偶可实现，当且仅当 H-扭在每个环纤维上的限制在上同调中为平凡。
• 当且仅当 $H^1(Z, H^2(T))$ 中 H-扭的上推为非平凡时，T-对偶为非经典（即非交换环的连续场）。
• 当 $n=2$ 时，T-对偶的分类空间可分解为经典与非经典两部分的积。
• $GO(n,n;\mathbb{Z})$ T-对偶群通过同伦自同态作用于经典对偶可实现丛的分类空间。
• 为保证 D-膜电荷匹配而要求的扭曲 K-理论同构得以保持，其中在非经典情形下，扭曲循环同调取代了经典的扭曲上同调。
• 本文提供了一个框架，可将 T-对偶推广至离散群的分类空间上的紧化情形，暗示其可推广至非环形背景。