[論文レビュー] Taking the Final Step to a Full Dichotomy of the Possible Winner Problem in Pure Scoring Rules

Dorothea Baumeister, Jörg Rothe|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2011

Game Theory and Voting Systems参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、純スコアリングルールにおける可能な勝者問題の二分法を完成させ、スコアリングベクトル (2,1,…,1,0) を持つ未解決のスコアリングルールについて、NP困難性を示した。ベツラーとドーンのほぼ完全な分類に基づき、著者たちは hitting set 問題から多項式時間の1対1還元を構築し、このルールが依然として計算的に困難であることを確立した。これにより、無制限の候補者を許容する無重み純スコアリングルールの計算複雑性の地図が完全に完成した。

ABSTRACT

The Possible Winner problem asks, given an election where the voters' preferences over the candidates are specified only partially, whether a designated candidate can become a winner by suitably extending all the votes. Betzler and Dorn [1] proved a result that is only one step away from a full dichotomy of this problem for the important class of pure scoring rules in the case of unweighted voters and an unbounded number of candidates: Possible Winner is NP-complete for all pure scoring rules except plurality, veto, and the scoring rule with vector (2,1,...,1,0), but is solvable in polynomial time for plurality and veto. We take the final step to a full dichotomy by showing that Possible Winner is NP-complete also for the scoring rule with vector (2,1,...,1,0).

研究の動機と目的

• ベツラーとドーンの純スコアリングルールにおける可能な勝者問題のほぼ完全な二分法における残された未解決事例を解消すること。
• スコアリングベクトル (2,1,…,1,0) を持つ純スコアリングルール下での可能な勝者問題の計算複雑性を特定すること。
• この最後の未解決スコアリングルールについてのNP完全性を示すことで、完全な二分法を完成させること。
• 部分的順序を伴う投票システムにおける計算困難性の理解を強化すること。

提案手法

• NP完全な hitting set 問題から、スコアリングベクトル (2,1,…,1,0) の純スコアリングルール下での可能な勝者問題への多項式時間の1対1還元を構築すること。
• 特定のスコア制約を持つ部分的投票に hitting set インスタンスを符号化するための投票構築法を設計すること。
• 候補者のスコア付けと投票構造を用いて、勝者決定を通じて hitting set の選択をシミュレートすること。
• 指定された候補者が勝つ唯一の方法が、サイズが k 以下の有効な hitting set が存在することであることを保証すること。
• 双方向の含意による正しさの証明：hitting set の解が存在すれば、可能な勝者拡張が存在し、逆にそのような拡張が存在すれば hitting set の解が存在する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スコアリングベクトル (2,1,…,1,0) を持つ純スコアリングルール下で、可能な勝者問題は NP 完全か？
• RQ2 このルールは、純スコアリングルール下での可能な勝者問題の二分法における残りの困難ケースを完全に埋めるか？
• RQ3 既知の NP 完全問題からの還元を用いて、このルールの未解決な複雑性を解消できるか？
• RQ4 このルールは、投票システムの複雑性分類全体において果たす役割は何か？

主な発見

• スコアリングベクトル (2,1,…,1,0) を持つ純スコアリングルール下で、可能な勝者問題は NP 完全であり、二分法における最後の未解決事例が解決された。
• この結果により、無重み投票および無制限候補者集合を許容する純スコアリングルール下での可能な勝者問題の完全な二分法が完成した。
• 証明は、hitting set 問題から (2,1,…,1,0) ルール下の可能な勝者インスタンスへの1対1還元を確立した。
• 還元により、サイズが k 以下の有効な hitting set が存在することと、指定された候補者が可能な勝者であることが同値であることが示された。
• この結果は、同じスコアリングルール下でスワップバイアラブル問題が NP 困難であることを示唆しており、可能な勝者問題が特殊ケースであるためである。