[論文レビュー] Tame tori in p-adic groups and good semisimple elements

Jessica Fintzen|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非アーキメデス的局所体上の再帰的群のすべての最大トーラスが、正則的分岐拡大体上に分裂するための必要十分条件を確立し、これは残渣的特徴 $p$ がワイル群の位数 $|\mathcal{W}|$ を割らない場合に限り成立することを示している。ただし、特定の例外型を除く。さらに、この条件下で、群およびそのリー代数のモイ・プラサフィルトレーションの各コセットに良い半単純元が存在することを証明し、超臨界表現論における主要な技術的仮定を解消した。

ABSTRACT

Let G be a reductive group over a non-archimedean local field k. We provide necessary conditions and sufficient conditions for all tori of G to split over a tamely ramified extension of k. We then show the existence of good semisimple elements in every Moy-Prasad filtration coset of the group G(k) and its Lie algebra, assuming the above sufficient conditions are met.

研究の動機と目的

• 非アーキメデス的局所体 $k$ 上の再帰的群 $G$ に対して、すべての最大トーラスが $k$ の正則的分岐拡大体上に分裂するための必要十分条件を同定すること。
• 残渣的特徴 $p$ およびワイル群に関する適切な条件下で、$G(k)$ 及びそのリー代数 $\mathfrak{g}(k)$ のすべてのモイ・プラサフィルトレーションコセットに良い半単純元が存在することを確立すること。
• アドラーとローチによる、特に例外型群におけるリー代数設定における良い元に関する先行結果の一般化と是正を行うこと。
• 残渣的特徴 $p$ が正則的分岐性および良い元の存在に果たす役割、特に $A_n$, $D_l$, $E_6$ などの例外型において明確にすること。

提案手法

• コキャラクターとコルート系の構造を用いて、正則的分岐拡大体上でのトーラスの分裂挙動を分析し、接続指数およびコルート格子における $p$- torsion の自由性に注目する。
• トーラスおよびそのリー代数へのモイ・プラサフィルトレーションの適用を行い、すべての非ゼロのルートの付値がフィルトレーションレベルに丁度一致するような元を「良い元」と定義する。
• 群の元を部分群 $T_1$ と $T_2$ への一意的因子分解により構成する。ここで $T_1$ は有理コキャラクターに対応し、$T_2$ はルート特性の核に対応する。
• ガロア安定性および付値の議論を用いて、構成された元 $\gamma_2$ が正しいコセットに属し、良い性質の付値条件を満たすことを示す。
• コルート系の接続指数に $p$ が割らないという事実を活用し、$1 + \mathcal{P}_{k^s}$ 内で分数乗根や指数関数が適切に定義されることを保証する。
• ワイル群の位数 $|\mathcal{W}|$ を重要な不変量として用いる：条件 $p \nmid |\mathcal{W}|$ により、必要なコキャラクターの持ち上げが存在し、群作用が必要なフィルトレーション構造を保つことが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーキメデス的局所体 $k$ 上の再帰的群 $G$ のすべての最大トーラスが、$k$ の正則的分岐拡大体上に分裂するための、残渣的特徴 $p$ およびワイル群 $\mathcal{W}$ に関する条件は何か？
• RQ2 条件 $p \nmid |\mathcal{W}|$ は、$G(k)$ のすべてのモイ・プラサフィルトレーションコセットに良い半単純元が存在するための必要十分条件か？
• RQ3 アドラーとローチの先行作業よりも弱い仮定の下で、リー代数 $\mathfrak{g}(k)$ のすべての正の深さフィルトレーションコセットに良い元が存在することは示せるか？
• RQ4 非分裂内型 $A_n$, $D_l$, $E_6$ のすべてのトーラスが正則的分岐のままであるような $p$ の最良の上限は何か？
• RQ5 コキャラクターおよびルート系へのガロア作用は、フィルトレーションコセットにおける良い元の構成にどのように影響するか？

主な発見

• 条件 $p \nmid |\mathcal{W}|$ は、$A_n$ ($n \geq 2$)、$D_l$ ($l$ が 4 より大きい素数）、$E_6$ の非分裂内型を除き、$G$ のすべての最大トーラスが $k$ の正則的分岐拡大体上に分裂するための必要十分条件である。
• すべての再帰的群 $G$ に対して、$p \nmid |\mathcal{W}|$ ならば、$\mathfrak{g}(k)$ のすべてのモイ・プラサフィルトレーションコセットに良い半単純元が存在する。これはアドラーとローチの先行結果を一般化・是正したものである。
• 群 $G(k)$ の場合にも同様の結果が成り立つ：同じ条件下で、$G(k)$ のすべてのフィルトレーションコセットに良い半単純元が存在する。これはリー代数の結果を群の設定に拡張したものである。
• 本論文は、[アドラー–ローチ, レムマ5.12] の証明における重要なステップの反例を提供し、本研究で新たにより一般的な証明を必要としていることを正当化している。
• 例外型では、$p$ の上限が大幅に改善されている：$E_6, E_7, E_8$ に対してそれぞれ $p > 5, 7, 7$ であるのに対し、先行研究では $p > 113,373$ や $1291$ と非常に厳しくなっていた。
• 良い元の構成は、$\gamma = \gamma_1 \gamma_2$ の一意的因子分解 $\gamma_1 \in T_1$、$\gamma_2 \in T_2$ に依存し、$T_1 \cap T_2 = \{1\}$ である。これにより、$\gamma_2$ が正しいコセットに属し、良い性質の付値条件を満たすことが保証される。