[論文レビュー] Tannaka Duality for Geometric Stacks

Jacob Lurie|ArXiv.org|Dec 14, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 42

ひとこと要約

この論文は、複素数体上の幾何的スタックに対してTannaka双対性を確立し、$X$ が幾何的（準コンパactかつ対角線がアフィン）であるとき、代数的および解析的関手の間の同値性を示す。主な結果は、$X$ が幾何的であるとき、関手 $φ: \operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(S,X) \to \operatorname{Hom}(S^{\operatorname{an}},X^{\operatorname{an}})$ が同値であることを示し、この結果は、コherent層上のテンソル関手を介して、GAGA原理をスタックへ一般化するものである。

ABSTRACT

We show that, under appropriate hypothesis, the groupoid of maps from S to an an algebraic stack X can be identified with a category of tensor functors from coherent sheaves on X to coherent sheaves on S. As an application, we show that if S is a proper variety over the field of complex numbers, then every ``analytic'' map from S to X is ``algebraic''.

研究の動機と目的

• 代数的スタック $X$ に対して、関手 $\phi: \operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(S,X) \to \operatorname{Hom}(S^{\operatorname{an}},X^{\operatorname{an}})$ が同値となる自然な条件を同定すること。
• 古典的GAGA定理をスキームや商スタックを超えて、より広いクラスのスタックへ一般化すること。
• 代数的および解析的設定において、関手 $f: S \to X$ のプルバック関手を用いた、同値なTannakian的特徴づけを確立すること。
• スタック $X$ が幾何的で $S$ が $\mathbf{C}$ 上の固有なDeligne-Mumfordスタックであるとき、解析化関手が同値であることを証明すること。

提案手法

• 代数的設定において、関手 $f^*: \operatorname{Coh}_X \to \operatorname{Coh}_S$ を用いて、関手 $f: S \to X$ を特徴づける。
• スタック $S$ および $X$ の解析化と、それらに誘導されるコherent層上の関手を用いて、この特徴づけを解析的設定へ拡張する。
• SerreのGAGA定理を用いて、アーベルテンソルカテゴリとして $\operatorname{Coh}_S$ と $\operatorname{Coh}_{S^{\operatorname{an}}}$ の間に同値が存在することを確立する。
• 関手 $F: \operatorname{Coh}_X \to \operatorname{Coh}_S$ が関手 $S \to X$ から生じるための必要十分条件は、その解析化 $F^{\operatorname{an}}$ が「穏やか（tame）」であること、すなわち平坦性と完全性を保存することであることを証明する。
• 関手 $p: (S^{\operatorname{an}}, \mathcal{O}_{S^{\operatorname{an}}}) \to (S, \mathcal{O}_S)$ が忠実平坦であることを示し、平坦性の降下を可能にする。
• 代数的および解析的設定において、関手から生じる関手の部分カテゴリが一致することを、プルバック関手の解析化における振る舞いを比較することで示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スタック $X$ に対して、$S$ が固有であるとき、関手 $\phi: \operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(S,X) \to \operatorname{Hom}(S^{\operatorname{an}},X^{\operatorname{an}})$ が同値となる条件は何か？
• RQ2 ベクトル束およびコherent層に対する古典的GAGA原理は、一般スタックへの関手へ拡張可能か？
• RQ3 固有なDeligne-Mumfordスタックから幾何的スタックへの関手に対して、代数的および解析的カテゴリの両方でTannakian的特徴づけが可能か？
• RQ4 関手の解析化がコherent層上のテンソル関手を介して因子分解可能か？また、そのような関手が関手に引き上げられるのはいつか？
• RQ5 関手 $p: S^{\operatorname{an}} \to S$ のどの性質が、プルバックにおける平坦性および完全性の保存を保証するか？

主な発見

• スタック $X$ が $\mathbf{C}$ 上の有限型の幾何的スタックで、$S$ が $\mathbf{C}$ 上の固有なDeligne-Mumfordスタックであるとき、関手 $\phi: \operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(S,X) \to \operatorname{Hom}(S^{\operatorname{an}},X^{\operatorname{an}})$ は同値である。
• 関手 $f: S \to X$ は、平坦性および完全性を保存するテンソル関手 $f^*: \operatorname{Coh}_X \to \operatorname{Coh}_S$ と同値であり、この特徴づけは解析的設定へも持ち上がる。
• 関手 $p: (S^{\operatorname{an}}, \mathcal{O}_{S^{\operatorname{an}}}) \to (S, \mathcal{O}_S)$ は忠実平坦であり、平坦性を解析的設定から代数的設定へ降下可能にする。
• スタック $S$ のコherent層のカテゴリと $S^{\operatorname{an}}$ のコherent層のカテゴリは、アーベルテンソルカテゴリとして同値であり、代数的および解析的関手の比較を可能にする。
• 関手 $F: \operatorname{Coh}_X \to \operatorname{Coh}_S$ が関手 $S \to X$ から生じるための必要十分条件は、その解析化 $F^{\operatorname{an}}$ が「穏やか（tame）」であること、すなわち平坦性および完全性を保存することである。
• スタック $X$ が幾何的でない場合には、この結果は成り立たない。例えば、アーベル多様体の分類スタックの場合にその反例が得られる。