[論文レビュー] Tannaka duality for proper Lie groupoids

Giorgio Trentinaglia|ArXiv.org|Sep 19, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、滑らかで有限次元の連続ヒルベルト場の類似物である滑らかなユークリッド場の族を導入することで、固有リー群コホーズに対してタンナカ双対性の定理を確立する。そして、そのような場への滑らかな表現の圏から、固有リー群コホーズを再構成できることを示している。主な貢献は、滑らかなユークリッド場への表現のテンソル圏を介して群コホーズを同定する再構成定理であり、古典的タンナカ双対性を滑らかで非可換かつ幾何的な固有リー群コホーズの設定に拡張している。

ABSTRACT

The main contribution of this thesis is a Tannaka duality theorem for proper Lie groupoids. This result is obtained by replacing the category of smooth vector bundles over the base manifold of a Lie groupoid with a larger category, the category of smooth Euclidean fields, and by considering smooth actions of Lie groupoids on smooth Euclidean fields. The notion of smooth Euclidean field that is introduced here is the smooth, finite dimensional analogue of the familiar notion of continuous Hilbert field. In the second part of the thesis, ordinary smooth representations of Lie groupoids on smooth vector bundles are systematically studied from the point of view of Tannaka duality, and various results are obtained in this direction.

研究の動機と目的

• リー群を一般化し、オルビフォールドやスタックにおける幾何的対称性を記述する固有リー群コホーズの設定に、タンナカ双対性を拡張すること。
• ベクトルバンドル上の古典的表現理論の制限を克服するため、より大きな、より柔軟な圏を導入する：滑らかなユークリッド場。
• 滑らかなユークリッド場への滑らかな表現の圏から、固有リー群コホーズを再構成する再構成定理を確立すること。
• テンソル圏とファイバー構造を用いた、リー群コホーズの表現を研究する枠組みを提供し、オルビフォールドや有効群コホーズへの応用を含むこと。
• 固有有効リー群コホーズが、その表現圏から完全に回復可能であることを証明し、古典的タンナカ双対性を一般化すること。

提案手法

• 滑らかで有限次元のベクトルバンドルに滑らかな内積を備えたものとして、滑らかなユークリッド場の概念を導入する。これは連続ヒルベルト場の滑らかな類似物である。
• リー群コホーズが滑らかなユークリッド場に作用する方法を定義し、古典的なベクトルバンドル上の表現を一般化する。
• リー群コホーズの底面多様体上に、整合性のある群コホーズ作用を持つ、滑らかなユークリッド場のファイバー付きテンソル圏を構成する。
• テンソル関手およびファイバー関手の理論を用いて、固有リー群コホーズの表現圏とその幾何的構造との関係を確立する。
• 滑らかなユークリッド場への表現の圏が、ファイバー関手を忠実に持ち、リジッドかつ半単純なテンソル圏であることを証明し、タンナカ再構成の条件を満たすことを示す。
• 元のリー群コホーズが、そのファイバー関手のテンソル自己同型の群コホーズと同型であることを示す再構成定理を確立する。ただし、固有性および有効性の仮定を仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト群から拡張されたタンナカ双対性は、より一般の幾何的対象たる固有リー群コホーズへ拡張可能か？
• RQ2 リー群コホーズの表現圏をどのように拡張すれば、群コホーズの完全な再構成が可能になるか？
• RQ3 特に非可換かつ固有の設定において、リー群コホーズのタンナカ双対性における滑らかなベクトルバンドルの適切な代替物は何か？
• RQ4 どのような条件下で、滑らかなユークリッド場への滑らかな表現の圏から、固有リー群コホーズが再構成可能か？
• RQ5 滑らかなユークリッド場の概念は、リー群コホーズおよびスタックの文脈において、タンナカ型双対性をどのように促進するか？

主な発見

• 固有リー群コホーズの滑らかなユークリッド場への表現の圏は、忠実なファイバー関手を備えたリジッドかつ半単純なテンソル圏であり、タンナカ双対性の公理を満たす。
• 固有リー群コホーズは、滑らかなユークリッド場へのファイバー関手のテンソル自己同型の群コホーズと同型である。これにより、完全な再構成結果が得られる。
• 固有有効リー群コホーズの標準的表現（接バンドルへの作用）は忠実であり、群コホーズの作用の幾何的実現を提供する。
• 固有有効リー群コホーズのクラスは、オルビフォールドに関連するリー群コホーズのクラスと弱同値である。これは、結果がオルビフォールド幾何学においても関連性を持つことを示している。
• 滑らかなユークリッド場の理論により、古典的ベクトルバンドル表現を超えてタンナカ双対性を一般化でき、古典的表現が忠実でない場合でさえも再構成が可能になる。
• 双対性はグローバル商の設定でも成り立ち、弱同値に関して保存される。これは、スタック的文脈において堅牢であることを示している。