[論文レビュー] Tannaka theory and the FRT construction over non-commutative algebras

Kenichi Shimizu|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、代数 $A$ 上の左双代数体の余半三角的性質を導入することで、非可換代数へのFRT構成を一般化し、双モナドおよび双代数体に対するTannaka型双対性を確立する。有限生成かつ射影的である $A$ 上の $A$-双加群におけるブレード的対象 $(M,c)$ から双代数体を構成し、その余加群の圏がブレード的性質を継承することを示し、構成がHayashiのフェース代数をFRT双代数体の複合形として回復することを示す。

ABSTRACT

Let $A$ be an algebra over a commutative ring $k$. We introduce the notion of a coquasitriangular left bialgebroid over $A$ and show that the category of left comodules over such a bialgebroid has a braiding. We also investigate a Tannaka type construction of bimonads and bialgebroids. As an application, the Faddeev-Reshetikhin-Takhtajan (FRT) construction over the algebra $A$ is established. Our construction associates a coquasitriangular bialgebroid to a braided object $(M, c)$ in the category of $A$-bimodules such that $M$ is finitely generated and projective as a left $A$-module. A Hopf algebroid version of this construction is also provided.

研究の動機と目的

• Tannaka双対性を用いて、非可換基底代数 $A$ 上でのFaddeev-Reshetikhin-Takhtajan (FRT) 構成を拡張すること。
• 有限生成かつ射影的である $A$ 上の $A$-双加群におけるブレード的対象 $(M,c)$ に対して、その余加群の圏がブレード的性質を持つような、代数 $A$ 上の余半三角的左双代数体を定義し、それらを研究すること。
• 有限生成かつ射影的である $A$ 上の $A$-双加群におけるブレード的対象 $(M,c)$ から、双モナドおよび双代数体に対するTannaka型構成を確立すること。
• その結果得られる双代数体が普遍的 $R$-形式を実現し、Hayashiのフェース代数のような既知の構成を回復することを示すこと。

提案手法

• すべての $x \in \mathcal{D}$ に対して $\omega(x)$ が右双対をもつような、小さなモノイダル圏 $\mathcal{D}$ と、${}_A\mathfrak{M}_A$ への強いモノイダル関手 $\omega: \mathcal{D} \to {}_A\mathfrak{M}_A$ からなる構成データ $(\mathcal{D}, \omega)$ を導入する。
• $M \in {}_A\mathfrak{M}_A$ に対して、$T(M) = \int^{x \in \mathcal{D}} \omega(x) \otimes M \otimes \omega(x)^\vee$ を定義し、${}_A\mathfrak{M}_A$ 上の双モナドに拡張する。
• Tannaka風の再構成を用いて $T$ に双モナド構造を導入し、$T$-余加群が $T$-加群から ${}_A\mathfrak{M}_A$ への忘却関手の左ラックス中心化子に同型であることを示す。
• 生成子 $T^p_q, \overline{T}^p_q$ を持つ自由 $A^e$-環 $T_{A^e}(G)$ を、ブレード $c$ を符号化する関係式で割った商として、FRT双代数体 $H(M,c)$ を構成する。
• 代数同型を用いて、その結果得られる双代数体を、Hayashiのフェース代数 $\mathrm{Hc}(\mathfrak{A}(w))$ の複合形に同定し、余環構造を保存する。
• H(M,c) 上の普遍的 $R$-形式が、H(M,c)-余加群の圏にラックスブレードを誘導することを検証し、その圏がブレード的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底代数 $A$ が非可換であっても、余加群の圏がブレード的であるという性質を保ちながら、FRT構成を非可換代数に一般化できるか？
• RQ2 有限生成かつ射影的である $A$ 上の $A$-双加群におけるブレード的対象 $(M,c)$ から、双代数体を回復するTannaka型構成が、双代数体に対して存在するか？
• RQ3 このようなブレード的対象から得られるFRT双代数体に、普遍的 $R$-形式が存在するか。その結果、余加群の圏がブレード的になるか？
• RQ4 パスクイオのケースと双対的ブレード的対象の場合に、FRT双代数体とHayashiのフェース代数の関係は何か？

主な発見

• Tannaka構成により、${}_A\mathfrak{M}_A$ 上の双モナド $T$ が得られ、$T$-余加群の圏は、$T$-加群から ${}_A\mathfrak{M}_A$ への忘却関手の左ラックス中心化子と同型である。
• $\mathcal{D}$ が右剛性を持つならば、$T$ は左ホップモナドである。$\mathcal{D}$ が左剛性を持つならば、$T$ は右ホップモナドである。
• $\mathcal{D}$ がラックスブレードを備えるならば、$T$-余加群の圏はラックスブレードを継承する。
• FRT双代数体 $H(M,c)$ は、$T_{A^e}(G)$ をブレード $c$ を符号化する関係式で割った商として構成され、その余加群の圏がブレード的になるように、普遍的 $R$-形式を備えている。
• FRT双代数体 $H(M,c)$ は、左双代数体として、Hayashiのフェース代数 $\mathrm{Hc}(\mathfrak{A}(w))$ の逆双代数体と同型である。
• 構成により、元のブレード $c$ が $H(M,c)$ 上の普遍的 $R$-形式として回復され、$M$ が $H(M,c)$-余加群として自然に定まり、その誘導されたブレードが $c$ となることが保証される。