[論文レビュー] Teichmüller extremal mapping and its applications to landmark matching registration

Lok Ming Lui, Ka Chun Lam+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Analytic and geometric function theory参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、特徴点制約を伴う表面間のテイヒミュラー極値写像を計算するための効率的な反復的アルゴリズム、準等角（QC）反復法を提案する。微分同相写像を表すためにベルトラミー係数（BCs）を用い、再構築には線形ベルトラミー・ソルバー（LBS）を採用する。この手法は、10秒未満で双陽数、最小な等角性歪みを伴う登録を保証し、脳や顔の登録などの応用分野における正確なおよびソフトな特徴点マッチングに適用可能である。

ABSTRACT

Registration, which aims to find an optimal 1-1 correspondence between shapes, is an important process in different research areas. Conformal mappings have been widely used to obtain a diffeomorphism between shapes that minimizes angular distortion. Conformal registrations are beneficial since it preserves the local geometry well. However, when landmark constraints are enforced, conformal mappings generally do not exist. This motivates us to look for a unique landmark matching quasi-conformal registration, which minimizes the conformality distortion. Under suitable condition on the landmark constraints, a unique diffeomporphism, called the Teichmüller extremal mapping between two surfaces can be obtained, which minimizes the maximal conformality distortion. In this paper, we propose an efficient iterative algorithm, called the Quasi-conformal (QC) iterations, to compute the Teichmüller mapping. The basic idea is to represent the set of diffeomorphisms using Beltrami coefficients (BCs), and look for an optimal BC associated to the desired Teichmüller mapping. The associated diffeomorphism can be efficiently reconstructed from the optimal BC using the Linear Beltrami Solver(LBS). Using BCs to represent diffeomorphisms guarantees the diffeomorphic property of the registration. Using our proposed method, the Teichmüller mapping can be accurately and efficiently computed within 10 seconds. The obtained registration is guaranteed to be bijective. The proposed algorithm can also be extended to compute Teichmüller mapping with soft landmark constraints. We applied the proposed algorithm to real applications, such as brain landmark matching registration, constrained texture mapping and human face registration. Experimental results shows that our method is both effective and efficient in computing a non-overlap landmark matching registration with least amount of conformality distortion.

研究の動機と目的

• 特徴点制約の下で、一意で双陽数的かつ最大等角性歪みを最小化する準等角登録を計算する手法を開発すること。
• 特徴点制約が課された場合に一般には存在しない等角写像の限界を克服すること。
• 特徴点が正確でない場合に備えて、ソフトな特徴点制約を扱えるようにこの手法を拡張すること。
• 医療画像やコンピュータグラフィックスなどの実世界の応用分野における、重複のない特徴点マッチング登録に適した効率的かつ正確なアルゴリズムを提供すること。
• 幾何的歪みを最小化しつつ、微分同相（双陽数的かつ滑らか）な登録の性質を保証すること。

提案手法

• 微分同相写像の空間を、写像の等角性歪みを符号化するベルトラミー係数（BCs）で表現する。
• 最大等角性歪みを最小化する最適なBCを求める反復的最適化プロセスを用いる。
• 線形ベルトラミー・ソルバー（LBS）により、計算された最適BCから微分同相写像を効率的に再構築する。
• 指定された特徴点または曲線に一致するように、BC最適化を変更することで、特徴点制約を正確にまたは近似的に（ソフト制約として）強制する。
• BC表現の内在的性質とテイヒミュラー理論により、得られる写像の双陽数性が保証される。
• アルゴリズムは三角形メッシュ上で実装され、脳や人間の顔などの3次元形状に適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴点制約が課された場合に、一意で双陽数的かつ最小等角性歪みの写像を計算できるか？
• RQ2 実際には、特に正確またはソフトな特徴点制約の下で、テイヒミュラー極値写像をどのように効率的に計算できるか？
• RQ3 複数連結領域や開いた定義域のような複雑な表面に対しても、双陽数性と低歪みを維持できるか？
• RQ4 本手法は、脳登録やテクスチャマッピングなどの実世界の応用分野でどれほど有効か？
• RQ5 実行時間と収束速度の観点から、この手法の計算効率はどの程度か？

主な発見

• 提案されたQC反復法アルゴリズムは、10秒未満でテイヒミュラー極値写像を計算し、実用的応用に適した高い効率性を示している。
• 得られる登録は双陽数的であることが保証されており、強い特徴点制約下でも折りたたみや重なりを回避する。
• ベルトラミー係数のノルムが表面全体でほぼ一定であることが確認され、計算された写像が最小最大等角性歪みを持つテイヒミュラー写像であることが裏付けられた。
• 本手法は、単純連結および複数連結表面（人間の顔や脳メッシュを含む）に対し、特徴点マッチング登録を効果的に計算できた。
• ソフト特徴点制約をサポートしており、特徴点が正確でない場合でもロバストな登録が可能である。
• 実験結果から、効果的で重複のないテクスチャマッピングおよび最小の幾何的歪みを伴う正確な顔・脳登録が実現された。