[論文レビュー] Tempered distributions: does universal tempering procedure exist?

Lev B. Klebanov, Lenka Slámová|arXiv (Cornell University)|May 8, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特に安定分布およびトゥーメントド安定分布に対して、普遍的な温度調整手順が存在しないと主張している。代わりに、温度調整はモデルに特化したものでなければならない。それは、Lévy過程、LePage級数、または乗法的カスケードといった、背後にある確率過程に由来する必要がある。これにより、一様なアプローチは排除され、モデルの整合性と実証的妥当性を保つために、温度調整手順に機構的根拠を求める必要があることが強調される。

ABSTRACT

Since the turn of the century, there has been increased interest in the application of heavy-tailed distributions, particularly stable distributions, to problems in physics and finance. Although, the tails of stable distributions provide a better fit to real-world data, they are too fat to describe empirical distributions. To remedy this drawback of stable distributions, so-called tempered variants of stable distributions have been proposed. In this paper, we argue that the tempering should be connected to the model leading to heavy tailed distribution and propose several tempering procedures in connection with corresponding models

研究の動機と目的

• 安定分布および重い尾を持つ分布に対して、普遍的な温度調整手順の仮定に反論すること。
• 一般化された極限定理や確率モデルから導かれる温度調整手順が、実用的適用性にとって不可欠であることを示すこと。
• 非安定な重い尾を持つ分布に対して任意の温度調整が理論的・実用的根拠を欠いていることを示すこと。
• 最初の通過時刻、ポアソン過程、乗法的カスケードといったトゥイモデルに基づくモデル駆動型温度調整を提唱すること。
• 経済学において、適切な温度調整選択を導く現実的なトゥイモデルの欠如を強調すること。

提案手法

• 重い尾を持つ分布を生成するトゥイモデルを分析する。これには、最初の通過時刻、ランダムウォーク、Lévy過程が含まれる。
• LePage級数表現を用いて、ポアソン過程とi.i.d.確率変数から安定分布を導出する。
• ランダム和における和項数のSibuya分布または幾何分布の切断を用いて、温度調整を適用する。
• 代替的な温度調整として、切り捨てられたまたは幾何安定型の変更された確率生成関数を検討する。
• Lévy-Khinchine表現を検討し、指数的または離散的切断を用いてLévy測度を変更する。
• 古典的温度調整（Lévy測度の指数的切断）とモデル固有の代替手法を比較し、構造的一致性を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての安定分布や重い尾を持つ分布に普遍的な温度調整手順を適用できるか？
• RQ2 背後にある確率モデルが、有効な温度調整手順を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ3 非安定な重い尾を持つ分布に古典的温度調整を適用すると、なぜ失敗するのか？
• RQ4 LePage級数や乗法的カスケードのようなトゥイモデルは、温度調整の選択にどのように影響を与えるか？
• RQ5 離散モデルにおける極限の非可換性（例：M→∞ と p→0）は、温度調整手順にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 重い尾を持つ分布に対して普遍的な温度調整手順は存在しない。温度調整は、背後にある確率モデルに由来しなければならない。
• Lévy測度の指数的切断に基づく温度調整は、非安定分布に対しては普遍的に適用可能ではない。
• モデル固有の温度調整、例えばLePage級数における和項数の切断、または有界な確率的個数の使用は、より軽く現実的な尾を持つ分布をもたらす。
• 温度調整手順の選択は任意ではない。元の重い尾を持つ分布の生成メカニズムと整合している必要がある。
• Lévy測度における指数的減衰を用いた古典的温度調整は、複合ポアソン過程のような特定のモデルから導出された場合にのみ有効である。
• 温度調整手順の極限挙動は、極限の順序（例：M→∞ と p→0）に強く依存しており、温度調整が可換ではなく一意に定義されないことが示された。