[論文レビュー] Tense operators on m-symmetric algebras

Aldo V. Figallo, Carlos Gallardo+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2012

Advanced Algebra and Logic参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、tense代数を一般化するために、tense作用素 $G$ と $H$ を追加した $m$–対称代数の一般化として、tense $m$–対称代数を導入する。Ockham代数のUrquhart双対性と、演算を備えた有界分配的ラティスのGoldblatt双対性を用いて、tense $m$–対称代数の圏と $tms$–空間の圏との双対同値を確立し、双対空間における閉じた $tms$–部分集合を用いて、合同関係格子の完全な記述が可能になる。

ABSTRACT

Here we initiate an investigation of the equational classes of m-symmetric algebras endowed with two tense operators. These varieties is a generalization of tense algebras. Our main interest is the duality theory for these classes of algebras. In order to do this, we require Urquart's duality for Ockham algebras and Goldblatt's duality for bounded distributive lattice with operations. The dualities enable us to describe the lattices of congruences on tense m-symmetric algebras.

研究の動機と目的

• tense代数を一般化するために、$m$–対称代数にtense作用素 $G$ と $H$ を追加すること。
• tense $m$–対称代数の代数的クラスの双対理論を開発すること。
• 位相的および順序理論的双対構造を用いて、tense $m$–対称代数上の合同関係格子を記述すること。
• tense $m$–対称代数の圏と $tms$–空間の圏との双対同値を確立すること。
• 双対Priestley空間における閉じた $tms$–部分集合を用いて、合同関係を特徴付けること。

提案手法

• Ockham代数のUrquhart双対性を用いて、$m$–対称代数を減少連続写像 $g$ を持つ $OP$–空間として表現する。
• 有界分配的ラティスに演算を備えたGoldblatt双対性を適用し、tense作用素 $G$ と $H$ を含む双対性を拡張する。
• $tms$–空間を、$X$ がPriestley空間で、$g$ が減少連続写像であり、$R_G, R_H$ が特定の公理を満たす二項関係である三つ組 $(X, g, R_G, R_H)$ として定義する。
• 反変ファンクターを用いて、tense $m$–対称代数の圏（TmS）と $tms$–空間の圏（tmS）との間で双対同値を構成する。
• tense $m$–対称代数上の合同関係を、$tms1$ および $tms2$ の公理を満たす双対空間の閉じた部分集合 $Y$ に双対的に対応させる。
• 双対 $tms$–空間の $tms$–部分集合の格子と、$tms$–合同関係の格子との間に、反同型が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 tense作用素 $G$ と $H$ をどのように $m$–対称代数に代数的に拡張することで、tense代数の一般化を構成できるか？
• RQ2 tense $m$–対称代数の双対空間の構造はどのようなものか？ また、tense作用素は $m$–対称構造とどのように作用するか？
• RQ3 双対Priestley空間の閉じた部分集合が、tense $m$–対称代数における合同関係に対応するための条件は何か？
• RQ4 tense $m$–対称代数と $tms$–空間との双対性は、それらの合同関係格子の記述をどのように支援するか？
• RQ5 双対空間の観点から、合同関係格子の正確な位相的および順序理論的特徴づけは何か？

主な発見

• tense $m$–対称代数の圏は、$tms$–空間の圏と双対同値であり、この代数的クラスに対して完全な双対性が確立される。
• tense $m$–対称代数上の合同関係は、$tms1$ および $tms2$ の公理を満たす双対 $tms$–空間の閉じた部分集合 $Y$ と一対一に対応する。
• $tms1$ は、関係 $R_G$ と $R_H$ が双対空間において順序構造を保存し、tense作用素と整合することを保証する。
• $tms2$ は、$g^{2m-1}(Y) = Y$ を要求することによって、$m$–対称条件 $N^{2m}(x) = N^0(x)$ を強制する。
• tense $m$–対称代数上の $tms$–合同関係の格子は、その双対 $tms$–空間の $tms$–部分集合の格子と反同型である。
• 双対性により、合同関係格子の完全な位相的および順序理論的記述が可能となり、既知のtense代数に関する結果が一般化される。