[論文レビュー] Tensor Decomposition, Parafermions, Level-Rank Duality, and Reciprocity Law for Vertex Operator Algebras

Cuipo, Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、$ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) $ の $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l} $ における可換子がパラフェルミオン頂点 operator 代数 $ K(\mathfrak{sl}_l, n) $ に同型であることを証明することにより、頂点 operator 代数に対するレベルランク双対性を確立する。さらに、この結果をレベル $ l_i $ のモジュールのテンソル積へ一般化し、再帰的法則を明らかにすることで、再帰的群におけるハウ双対性に類似した双対構造を明らかにする。

ABSTRACT

For the semisimple Lie algebra $ \frak{sl}_n$, the basic representation $L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(1,0)$ of the affine Lie algebra $\widehat{\frak{sl}_{n}}$ is a lattice vertex operator algebra. The first main result of the paper is to prove that the commutant vertex operator algebra of $ L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l,0)$ in the $l$-fold tensor product $ L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(1,0)^{\otimes l}$ is isomorphic to the parafermion vertex operator algebra $K(\frak{sl}_{l},n)$, which is the commutant of the Heisenberg vertex operator algebra $L_{\widehat{\frak{h}}}(n,0) $ in $L_{\widehat{\frak{sl}_l}}(n,0)$. The result provides a version of level-rank duality. The second main result of the paper is to prove more general version of the first result that the commutant of $ L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l_1+\cdots +l_s, 0)$ in $L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l_1,0)\otimes \cdots \otimes L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l_s, 0)$ is isomorphic to the commutant of the vertex operator algebra generated by a Levi Lie subalgebra of $\frak{sl}_{l_1+\cdots+l_s}$ corresponding to the composition $(l_1, \cdots, l_s)$ in the rational vertex operator algebra $ L_{\widehat{\frak{sl}}_{l_1+\cdots +l_s}}(n,0)$. This general version also resembles a version of reciprocity law discussed by Howe in the context of reductive Lie groups. In the course of the proof of the main results, certain Howe duality pairs also appear in the context of vertex operator algebras.

研究の動機と目的

• 可換子構成を用いて、頂点 operator 代数に対するレベルランク双対性を確立すること。
• 異なるレベルを持つモジュールのテンソル積へ双対性を一般化すること。
• パラフェルミオン VOAs の構造とアフィン VOAs のコセット構成との関係を明らかにすること。
• 再帰的群におけるハウ双対性に類似した VOAs における再帰的法則を定式化すること。
• 特定の状況下でのパラフェルミオン VOAs の有理的および $ C_2 $-cofinite 性を証明すること。

提案手法

• VOA 内の $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) $ の可換子が $ K(\mathfrak{sl}_l, n) $ に同型であることを示すために、可換子 VOA の使用。
• VOA の文脈においてハウ双対ペアを応用し、可換子間の同型を導出する。
• モジュールカテゴリの同値性を用いて、異なる VOAs 内の可換子間の同型を構成する。
• パラフェルミオン VOAs の双対パートナーとして格子 VOA $ V_{\sqrt{n}A_{l-1}} $ を使用する。
• レベルの組み合わせ $ (l_1, \dots, l_s) $ を用いて、$ s $ 重テンソル積への双対性の一般化を行う。
• 双対 VOA のモジュール間の Hom 空間の同型を用いて再帰的法則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) $ の $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l} $ における可換子は、パラフェルミオン VOA $ K(\mathfrak{sl}_l, n) $ に同型か？
• RQ2 レベルランク双対性は、異なるレベルを持つモジュールのテンソル積へ一般化可能か？
• RQ3 再帰的群におけるハウ双対性に類似した再帰的法則は、VOA の文脈で成立するか？
• RQ4 パラフェルミオン VOA $ K(\mathfrak{sl}_n, 2) $ の有理的および表現論的性質は何か？
• RQ5 コセット構成 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l}}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0)) $ は $ C_2 $-cofinite かつ有理的か？

主な発見

• $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) $ の $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l} $ における可換子は $ K(\mathfrak{sl}_l, n) $ に同型であり、レベルランク双対性が確立される。
• $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_l}}(n,0) $ の $ L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(n,0) $ における可換子は $ V_{\sqrt{n}A_{l-1}} $ に同型であり、これは格子 VOA である。
• $ n \geq 2 $ のとき、$ K(\mathfrak{sl}_n, 2) $ は有理的であり、$ 2^{n-2}(n+1) $ 個の非同型不可約表現を持つ。
• $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes 2}}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(2,0)) $ は $ C_2 $-cofinite であり、$ n(n+1)/2 $ 個の非同型不可約モジュールを持つ。
• $ n \leq 6 $ のとき、このコセットは有理的であり、その Zhu 代数は次元 $ n(n+1)/2 $ の半単純かつ可換な代数である。
• 双対 VOA ペair のモジュール間の Hom 空間の同型を用いて、一般の再帰的法則が確立される。