[論文レビュー] Tensor GMRES and Golub-Kahan Bidiagonalization methods via the Einstein product with applications to image and video processing

M. El Guide, Alaa El Ichi+2 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Tensor decomposition and applications参考文献 28被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、Einstein積を用いたテンソルGMRESおよびグローバル・ゴロブ＝カハンのバイデジョナリゼーション法を提案し、カラー画像および動画修復に生じる不定かつ悪条件な多次元線形系を解く。テンソル構造とTikhonov正則化を活用することで、計算複雑性を低減しつつ、効率的かつ安定した解法が得られ、合成の曇りやノイズのあるRGB画像および動画において、優れた修復品質と高速性を示した。

ABSTRACT

In the present paper, we are interested in developing iterative Krylov subspace methods in tensor structure to solve a class of multilinear systems via Einstein product. In particular, we develop global variants of the GMRES and Gloub--Kahan bidiagonalization processes in tensor framework. We further consider the case that mentioned equation may be possibly corresponds to a discrete ill-posed problem. Applications arising from color image and video restoration are included.

研究の動機と目的

• カラー画像および動画処理から生じる大規模な多次元線形系を、テンソル構造を活用して効率的に解く課題に対処する。
• Einstein積を用いたテンソル方程式に特化した、頑健な反復的Krylov部分空間法を開発する。
• テンソルフレームワーク内にTikhonov正則化を統合し、ノイズ多きく悪条件な系の解を安定化する。
• データをベクトル化するのではなく、多次元テンソル構造を活用することで、計算複雑性を低減する。
• 定量的性能指標を用いて、実世界の画像および動画修復タスクにおける提案手法の有効性を実証する。

提案手法

• 多次元データに対してEinstein積を用いて、テンソル方程式 $\mathcal{A} \ast_N \mathcal{X} = \mathcal{C}$ として画像／動画修復問題を定式化する。
• Einstein積を介してテンソル上で直接動作するように、グローバルGMRESおよびグローバル・ゴロブ＝カハンのバイデジョナリゼーション手順を適応する。
• 不適切な問題の解を安定化させるために、テンソル系にTikhonov正則化を適用する。
• 不適切な問題の解を安定化させるために、テンソル系にTikhonov正則化を適用する。
• 残差ノルムおよび収束基準に基づく早期終了を実装した反復ソルバーを用いる。
• 展開を行列やベクトルに変換する計算負荷を回避するため、計算全体を通して完全なテンソル構造を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Einstein積を用いたKrylov部分空間法は、画像および動画修復のためのテンソル方程式に効果的に拡張可能か？
• RQ2 テンソルベースのGMRESおよびゴロブ＝カハン法は、標準的な行列ベースのアプローチと比較して、精度および計算コストの面で優位性を示すか？
• RQ3 Tikhonov正則化は、修復されたカラー画像および動画の安定性と品質にどのような影響を与えるか？
• RQ4 GCVや不一致原理による自動正則化パラメータ選択は、テンソルフレームワーク内でも効果的に適用可能か？
• RQ5 大規模な画像および動画処理タスクにおいて、テンソル構造を保持することで、計算複雑性はどの程度低減されるか？

主な発見

• ノイズレベル $10^{-3}$ のカラー画像修復において、アルゴリズム4（GGKB）はPSNR 24.37 dB、相対誤差 $4.51 \times 10^{-2}$ を達成し、アルゴリズム2（GMRES）よりもPSNRおよび誤差の両面で優れた性能を示した。
• ノイズレベル $10^{-2}$ の場合、アルゴリズム4はPSNR 20.97 dB、相対誤差 $6.67 \times 10^{-2}$ を得たのに対し、アルゴリズム2は20.60 dBおよび $6.96 \times 10^{-2}$ を得た。これにより、一貫した優位性が確認された。
• 動画修復において、アルゴリズム4はノイズレベル $10^{-3}$ でPSNR 19.24 dBを達成したのに対し、アルゴリズム2は15.48 dBであった。品質向上が顕著に示された。
• 動画修復におけるCPU時間は、アルゴリズム4で $10^{-3}$ ノイズレベルで27.37秒であり、アルゴリズム2の38.93秒よりも顕著に低かった。
• 画像修復において、アルゴリズム4は61ステップ目で不一致原理により $\mu_{\ell} = 2.95 \times 10^{-4}$ の正則化パラメータが選択され、誤差許容範囲を満たした。
• 動画修復において、不一致原理は $\ell = 59$ ステップ目で満たされ、$\mu_{\ell} = 1.06 \times 10^{-4}$ が選択された。これにより、効果的な正則化と収束の両方が確認された。