[論文レビュー] Tensor hierarchies and Lie $n$-extensions of Leibniz algebras

Sylvain Lavau|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2017

Advanced Topics in Algebra被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Loday（Leibniz）代数からテンソル階層を標準的につくる方法を確立し、超対称重力におけるゲージ化手続きの背後にある代数的構造を形式化する。この論文は、このようなテンソル階層が自然に微分付き階層代数（differential graded Lie algebra）の構造を備えていることを示し、超対称重力理論で得られるものと一致することを示しており、代数的および物理的構成を統一する。

ABSTRACT

Tensor hierarchies are algebraic objects that emerge in gauging procedures in supergravity models, and that present a very deep and intricate relationship with Leibniz (or Loday) algebras. In this paper, we show that one can canonically associate a tensor hierarchy to any Loday algebra. By formalizing the construction that is performed in supergravity, we build this tensor hierarchy explicitly. We show that this tensor hierarchy can be canonically equipped with a differential graded Lie algebra structure that coincides with the one that is found in supergravity theories.

研究の動機と目的

• 超対称重力のゲージ化手続きに現れるテンソル階層の代数的構成を形式化すること。
• Loday代数とテンソル階層の間の標準的対応関係を確立すること。
• 得られるテンソル階層が微分付き階層代数構造を備えていることを示すこと。
• この構造が物理的超対称重力理論で実現されているものと一致することを示すこと。

提案手法

• 論文はまず、Loday代数の代数的枠組みをテンソル階層の基礎的構造として特定する。
• その後、Loday代数を用いた体系的で再帰的な拡張プロセスにより、テンソル階層を階数付きベクトル空間として構成する。
• テンソル階層上の微分は、Leibniz括弧とその高次元版を用いて定義され、Loday代数の関係と整合性を持つように保証される。
• 次に、階数付き括弧を定義することで微分付き階層代数構造を導入し、階数付きジャコビ恒等式を満たすようにする。
• この構成が函手的であることが示され、Loday代数の準同型の下でも一貫性が保たれる。
• 最後の段階で、得られた構造が既知の超対称重力モデルにおける微分付き階層代数と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてLoday代数からテンソル階層を体系的に構成できるか？
• RQ2 Loday代数の文脈において、テンソル階層の背後にある代数的構造は何か？
• RQ3 Loday代数から導かれるテンソル階層は、自然に微分付き階層代数構造を備えているか？
• RQ4 この微分付き階層代数は、超対称重力理論で得られるものと同型であるか？
• RQ5 この構成を異なるLoday代数の間で標準的かつ函手的にできるか？

主な発見

• 任意のLoday代数から標準的テンソル階層が構成され、超対称重力における物理的ゲージ化手続きを一般化する。
• テンソル階層は、Loday代数によって一意に定まる微分付き階層代数構造を備えている。
• テンソル階層上の微分付き階層代数構造は、超対称重力モデルで実現されているものと正確に一致する。
• この構成は函手的であり、Loday代数とその関連するテンソル階層間の準同型を保存する。
• この結果により、抽象的なLoday代数の構造と超対称重力における物理的テンソル階層との間の深い代数的統一が確立される。