[논문 리뷰] Testable Bounded Degree Graph Properties Are Random Order Streamable

Morteza Monemizadeh, S. Muthukrishnan외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 23.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 27인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유계 차수 그래프의 인cidency 리스트 모델에서 상수 개의 쿼리를 사용해 테스트할 수 있는 모든 성질이, 랜덤 오더 그래프 스트림에서 단일 패assing에 상수 공간을 사용해 테스트할 수 있음을 증명한다. 핵심 통찰은 랜덤 정점 샘플링과 엣지 스트림 처리를 통해 국소적 이웃 분포를 추정하는 것으로, 최대 매칭 크기와 같은 문제에서 애드디티브 오차 $\epsilon n$를 갖는 근사화를 위한 상수 공간 시뮬레이션을 가능하게 한다. 이는 오랫동안 존재했던 공격자 기반 모델과 랜덤 오더 모델 간의 격차를 해결하며, 많은 부분선형 알고리즘이 랜덤 오더 가정 하에 스트리밍 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We study which property testing and sublinear time algorithms can be transformed into graph streaming algorithms for random order streams. Our main result is that for bounded degree graphs, any property that is constant-query testable in the adjacency list model can be tested with constant space in a single-pass in random order streams. Our result is obtained by estimating the distribution of local neighborhoods of the vertices on a random order graph stream using constant space. We then show that our approach can also be applied to constant time approximation algorithms for bounded degree graphs in the adjacency list model: As an example, we obtain a constant-space single-pass random order streaming algorithms for approximating the size of a maximum matching with additive error $εn$ ($n$ is the number of nodes). Our result establishes for the first time that a large class of sublinear algorithms can be simulated in random order streams, while $Ω(n)$ space is needed for many graph streaming problems for adversarial orders.

연구 동기 및 목표

• 유계 차수 그래프에 대해 상수 쿼리로 테스트 가능한 성질과 부분선형 시간 근사 알고리즘을 랜덤 오더 그래프 스트리밍 모델에서 시뮬레이션할 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 많은 문제들이 일반적으로 $\Omega(n)$ 공간을 요구하는 공격자 기반 모델과 랜덤 오더 모델 간의 격차를 좁히는 것.
• 유계 차수 그래프에서 국소적 이웃 분포를 랜덤 오더 스트림에서 상수 공간으로 추정할 수 있음을 보여주는 것.
• 최대 매칭 크기와 같은 기본적인 그래프 최적화 문제를 랜덤 오더 스트림에서 상수 공간으로 해결할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 랜덤 오더 엣지 스트림을 단일 패assing으로 처리하면서, 상수 공간을 사용해 무작위로 샘플된 정점의 $k$-디스크(반경 $k$ 이내의 국소적 이웃) 분포를 추정한다.
• 랜덤 오더 가정을 활용해 샘플된 $k$-디스크가 서로 겹치지 않을 가능성이 높다는 점을 이용하여, 이웃 유형 빈도를 정확하게 추정한다.
• 추정된 $k$-디스크 유형 분포를 활용해 인cidency 리스트 모델에서 설계된 임의의 상수 쿼리 테스터나 상수 시간 근사 알고리즘을 시뮬레이션한다.
• 최대 매칭 크기를 애드디티브 오차 $\epsilon n$로 근사하기 위해, 오рак스가 국소 그래프 구조에만 의존하는 방식으로 근사적인 그레디 알고리즘을 국소적으로 시뮬레이션한다.
• 확률적 농도 및 $\delta$-근접 분포와 $\psi$-함수를 포함한 조합적 추론을 통해 이웃 분포 추정 오차의 경계를 증명한다.
• 추정 오차가 제한되어 있음을 보장함으로써, 상수 공간만으로도 성질을 만족하는 그래프와 $\varepsilon$-이상 떨어진 그래프를 상수 확률로 정확히 구분할 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 차수 그래프에 대해 상수 쿼리로 테스트 가능한 성질 테스팅 알고리즘은 랜덤 오더 스트리밍 모델에서 상수 공간으로 구현될 수 있는가?
• RQ2 랜덤 오더 가정이 공격자 기반 모델에서 $\Omega(n)$ 공간이 요구되는 문제들에 대해 상수 공간 스트리밍 알고리즘을 가능하게 하는가?
• RQ3 유계 차수 그래프에서 국소적 이웃의 분포를 단일 패assing 랜덤 오더 스트림에서 상수 공간으로 추정할 수 있는가?
• RQ4 최대 매칭과 같은 상수 시간 근사 알고리즘(예: 최대 매칭 크기 근사)을 랜덤 오더 스트리밍 모델에서 상수 메모리만으로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ5 부분선형 알고리즘의 쿼리 복잡도와 랜덤 오더 그래프 스트림에서의 공간 복잡도 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 유계 차수 그래프의 인cidency 리스트 모델에서 상수 개의 쿼리를 사용해 테스트할 수 있는 모든 성질은, 랜덤 오더 스트림에서 단일 패assing에 상수 공간으로 테스트할 수 있다.
• 유계 차수 그래프에서 $k$-디스크의 분포는 랜덤 오더 스트림에서 상수 공간으로 추정할 수 있으며, 이는 부분선형 알고리즘의 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 최대 매칭 크기를 애드디티브 오차 $\epsilon n$로 근사하는 상수 공간, 단일 패assing 랜덤 오더 스트리밍 알고리즘을 제시한다. 여기서 $n$은 정점의 수이다.
• 이 방법은 국소적 이웃 샘플링과 추정에 의존하여 최대 매칭 크기의 상수 근사 보장을 높은 확률로 달성한다.
• 공격자 기반 모델과 랜덤 오더 모델 간의 강력한 분리가 성립하며, 공격자 기반 모델에서는 많은 문제에 대해 $\Omega(n)$ 공간이 필요하지만, 랜덤 오더 모델에서는 그렇지 않다.
• 최대 매칭 크기 외에도 최소 정점 커버 및 최소 스패닝 트리 무게와 같은 다른 최적화 문제로 이 틀이 일반화 가능하며, 이는 상수 쿼리 또는 상수 시간 근사 알고리즘이 존재하는 경우에 한해 성립한다.