[論文レビュー] Testing for the Equality of two Distributions on High Dimensional Object Spaces

Ruite Guo, Vic Patrangenaru|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2017

Morphological variations and asymmetry参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ケンダール形状空間内の形状など、高次元のオブジェクト分布を比較するための外部エネルギー距離検定を提案する。この手法は、ユークリッド空間へのVW埋め込みを用いて、エネルギー統計を適用し、2つの分布間の同一性を検定する。その結果、CC断面形状のVW平均には有意な差が認められるが、それらの背後にある分布は統計的に同一ではないことが示された。これは、推論における高次元性の影響を浮き彫りにしている。

ABSTRACT

Energy statistics are estimators of the energy distance that depend on the distances between observations. The idea behind energy statistics is to consider a statistical potential energy that would parallel Newton's gravitational potential energy. This statistical potential energy is zero if and only if a certain null hypothesis relating two distributions holds true. In Szekely and Rizzo(2004), a nonparametric test for equality of two multivariate distributions was given, based on the Euclidean distance between observations. This test was shown to be effective for high dimensional multivariate data, and was implemented by an appropriate distribution free permutation test. As an extension of Szekely and Rizzo (2013), here we consider the energy distance between to independent random objects X and Y on the object space M, that admits an embedding into an Euclidean space. In the case of a Kendall shape space, we can use its VW-embedding into an Euclidean space of matrices and define the extrinsic distance between two shapes as their VW associated distance. The corresponding energy distance between two distributions of Kendall shapes of k-ads will be called VW-energy distance We test our methodology on, to compare the distributions of Kendall shape of the contour of the midsagittal section of the Corpus Callossum in normal vs ADHD diagnosed individuals. Here we use the VW distance between the shapes of two children CC midsections. Using the CC data coming originally from http://fcon 1000.projects.nitrc.org/indi/adhd200/ it appears that the two Kendall shape distributions are not significantly different.

研究の動機と目的

• 高次元オブジェクト空間（たとえば形状多様体）上における2つの確率分布の同一性を検定する非パラメトリック手法の開発。
• ケンダール形状空間のような高次元で非ユークリッドなオブジェクト空間における分布同一性の検定という課題に取り組む。
• 特に医療画像応用における形状解析において、高次元性が統計的推論に与える影響を調査する。
• シミュレーテッドデータ（ケンダールk-ad形状）と実世界の医療画像データ（Corpus Callosum断面）を用いて、提案手法の妥当性を検証する。

提案手法

• エネルギー統計を、ヒルバート空間における複素行列の空間に埋め込むVW埋め込みを介して、オブジェクト空間へと拡張。元々ユークリッド空間で定義されたエネルギー統計を、非ユークリッドな空間に適用する。
• 外部エネルギー距離を、2つの標本からの観測値間のペアワイズ距離の関数として定義し、埋め込み空間におけるユークリッドノルムを用いる。
• 帰無仮説 $ H_0: Q_1 = Q_2 $ 対対立仮説 $ H_1: Q_1 \neq Q_2 $ の検定に、tエネルギー統計 $ T_{n_1,n_2} = \frac{n_1n_2}{n} \tilde{\rho}_{n_1,n_2} $ を用いる。ここで $ \tilde{\rho}_{n_1,n_2} $ は標本エネルギー統計である。
• 有意水準の臨界値を求めるために、パーミュテーションに基づく有意性検定を用い、帰無仮説下での第1種の過誤を適切に制御する。
• 高次元制約下で漸近的帰無分布が得られない状況において、ブートストラップリサンプリングを用いて検定統計量の臨界値を推定する。
• シミュレーテッドk-ad形状とADHD-200データセットからの実際のCC断面データ（1つの輪郭あたり50個の擬似ランドマーク）を用いて、手法の妥当性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー統計は、形状多様体のような高次元オブジェクト空間における分布の等価性を検定するために拡張可能か？
• RQ2 高次元性が、特に平均に有意差がある場合の形状分布の差の検出にどのように影響するか？
• RQ3 臨床的に正常と診断された者とADHDと診断された者との間で、Corpus Callosum断面形状の分布に統計的に有意な差があるか？
• RQ4 ADHD診断における誤診の影響が、形状ベースの医療画像解析における分布検定の検出力にどの程度及ぶか？

主な発見

• CC断面形状データに対するVW-tエネルギー統計量は $ T_{j,n_1,n_2} = 0.0948 $ であり、ブートストラップの臨界値は $ c^*_{0.05} = 0.1075 $ および $ c^*_{0.1} = 0.0958 $ であった。これは5%水準で有意差がないことを示している。
• VW平均形状には極めて有意な差（p値 ~$10^{-11}$）が認められたが、提案手法によれば、CC断面形状の全分布には統計的に有意な差が認められなかった。
• 平均の差があるにもかかわらず分布に有意差がないという結果は、BaiとSaranadasa（1996）が述べた高次元性の影響に起因すると考えられる。高次元化により平均の検定統計量は inflated されるが、分布の同一性検定統計量にはその影響が及ばない。
• この結果から、観察された平均の差は真の生物学的差ではなく、高次元ノイズに起因している可能性が示唆され、誤ったADHD診断の懸念が生じる。
• シミュレーションスタディにより、本手法がk-ad形状データにおける分布差を検出する能力を有することが確認され、既知の代替仮説下で検定の一貫性と検出力が示された。
• 本手法は、分布の同一性と平均の同一性を区別できることを示し、高次元形状解析におけるより洗練された推論ツールを提供する。