[論文レビュー] Tests for High-Dimensional Covariance Matrices Using Random Matrix Projection

Tung-Lung Wu, Ping Li|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2015

Random Matrices and Applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、データを一次元に低次元化することで、高次元共分散行列の検定を可能にするランダムプロジェクションに基づく手法を提案する。この手法により、標準的有意水準検定が利用可能となり、一般条件下で漸近正規性を維持する。既存手法に比べて優れているが、共分散行列の差がほぼ正定値または負定値である場合に特に優れた性能を示す。一方、差がほぼ特異的である場合には失敗する。

ABSTRACT

The classic likelihood ratio test for testing the equality of two covariance matrices breakdowns due to the singularity of the sample covariance matrices when the data dimension $p$ is larger than the sample size $n$. In this paper, we present a conceptually simple method using random projection to project the data onto the one-dimensional random subspace so that the conventional methods can be applied. Both one-sample and two-sample tests for high-dimensional covariance matrices are studied. Asymptotic results are established and numerical results are given to compare our method with state-of-the-art methods in the literature.

研究の動機と目的

• p > n の場合に、標本共分散行列が特異的になるため、古典的尤度比検定が高次元共分散行列に対して破綻することを解決する。
• 高次元設定における一標本および二標本検定に対して、計算的に効率的かつ概念的に単純な手法を開発する。
• 既存手法がpとnの間の特定の関係を要請するという制限を克服するため、ランダムプロジェクションを用いて次元を一次元に低次元化する。
• p/n の極限が固定でない一般条件下でも、検定統計量の漸近正規性を確立する。
• 広範なシミュレーションを通じて、最先端の手法（CLRTおよびLi & Chen）と性能を比較する。

提案手法

• i.i.d. 標準正規乱数を成分とするランダムプロジェクションベクトル R を用いて、高次元データを一次元部分空間に射影する。
• 射影されたデータはスカラー値であり、特異性の問題を回避できるため、標準的一標本および二標本尤度比検定を適用可能となる。
• 一標本検定には統計量 T₁ = n·(tr(S) − log|S| − p) を、二標本検定には T₂ を射影データに適用する。
• n および p が共に十分に大きい際、p/n → c を要請しない条件下で、帰無仮説の下での検定統計量の漸近正規性を導出する。
• 収束速度の向上と実効的性能の向上を図るため、正規化されたランダムプロジェクションベクトルを用いる。
• やや弱い条件下で、異なるランダムプロジェクション間の共分散の収束速度を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的手法が失敗する状況において、一次元へのランダムプロジェクションが、十分な信号を保持して高次元共分散行列検定を有効に行えるか？
• RQ2 CLRTおよびLi & Chen手法と比較して、さまざまなpおよびnの設定におけるサイズとパワーの観点から、ランダムプロジェクション手法の性能はいかがなものか？
• RQ3 共分散行列の差にどのような条件（例：正定値、特異的）が成立する場合に、ランダムプロジェクション手法は成功または失敗するか？
• RQ4 一次元ランダムプロジェクションを用いた場合、帰無仮説の下での検定統計量の漸近分布は何か？
• RQ5 pとnの間の特定の関係を要請しない状況でも、この手法は良好な実効的性能を維持するか？

主な発見

• 本手法は、p/n → ∞ でさえも、p/n の固定極限を要請しない一般条件下で、検定統計量の漸近正規性を達成する。
• シミュレーションでは、共分散行列の差がほぼ正定値または負定値である場合、CLRTおよびLi & Chen手法を上回り、p=4096、n=100の条件下で実効的パワー0.9997を達成する。
• 共分散行列の差がほぼ特異的（例：同じ対角成分）である場合には、手法は失敗する。これは、平均的に射影された分散の差がゼロとなるためであり、非対角成分の信号にかかわらず成立する。
• 強い正定値差を持つケース(i)では、p=4096、n=100の条件下で、本手法は100%の実効的パワーを達成するが、CLRTおよびLi & Chen手法はそれより低いパワーを示す。
• 正規化されたランダムプロジェクションベクトルは、非正規化された代替手法よりも漸近正規性への収束が速く、実効的サイズの正確性が向上する。
• 本手法は計算的に効率的で、実装が容易かつ解釈可能であり、大規模な高次元データ解析に適している。