[論文レビュー] The 3x3 rooks graph is the unique smallest graph with lazy cop number 3

Brendan Sullivan, Nikolas Townsend+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2016

Artificial Intelligence in Games参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、3×3 ロークス・グラフ（K₃□K₃）が、遅いコプス数が3である最小のグラフであることを証明している。これは、泥棒を確実に捕らえるために3人の遅いコプスが必要となる最小のグラフであり、頂点数が8個以下のいかなるグラフよりも多く2人以上の遅いコプスを必要としない。証明は構造的グラフ解析と、最大次数と最小次数が有界なグラフのケースバイケースの除外を用い、既知のコプス数およびドミネーティング数に関する結果を活用して一意性を確立する。

ABSTRACT

In the ordinary version of the pursuit-evasion game "cops and robbers", a team of cops and a robber occupy vertices of a graph and alternately move along the graph's edges, with perfect information about each other. If a cop lands on the robber, the cops win; if the robber can evade the cops indefinitely, he wins. In the variant "lazy cops and robbers", the cops may only choose one member of their squad to make a move when it's their turn. The minimum number of cops (respectively lazy cops) required to catch the robber is called the "cop number" (resp. "lazy cop number") of G and is denoted $c(G)$ (resp. $c_L(G)$). Previous work by Beveridge at al. has shown that the Petersen graph is the unique graph on ten vertices with $c(G)=3$, and all graphs on nine or fewer vertices have $c(G)\leq 2$. (This was a self-contained mathematical proof of a result found by computational search by Baird and Bonato.) In this article, we prove a similar result for lazy cops, namely that the 3x3 rooks graph ($K_3\square K_3$) is the unique graph on nine vertices which requires three lazy cops, and a graph on eight or fewer vertices requires at most two lazy cops.

研究の動機と目的

• コプスと泥棒のゲームにおいて3人の遅いコプスを必要とする最小のグラフを特定すること。
• 頂点数が8個以下のいかなるグラフに対しても遅いコプス数が3ではないことを確立すること。
• 3×3 ロークス・グラフ（K₃□K₃）が、頂点数9個のグラフの中で唯一、遅いコプス数3をもつことの証明。
• 小さな正則グラフにおける遅いコプス数の挙動の理解を拡張すること。
• Kₙ□Kₙ が遅いコプス数nをもつ唯一の最小グラフであるという広範な予想を支援すること。

提案手法

• 最大次数Δ ≤ 3および最小次数δ ≥ 2をもつ9頂点のグラフを対象に、構造的グラフ理論を用いて分析した。
• 3次頂点とその共通の隣接頂点に基づくケース別分析を適用し、cₗ(G) > 2 となるグラフを除外した。
• 任意の8頂点以下のグラフは遅いコプス数が2以下であると述べる定理3.1を活用した。
• cₗ(G) ≤ γ(G) および c(G) ≤ cₗ(G) の事実を用い、ドミネーティング数および通常のコプス数による探索空間の制限を行った。
• ロークス・グラフ R₃ = K₃□K₃ を構成し、直接戦略解析により cₗ(R₃) = 3 を証明した。
• 頂点の削除および部分グラフへの帰納を用いて、複雑な構成を既知の2人の遅いコプスの勝利戦略に還元した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遅いコプス数3をもつ最小のグラフは何か？
• RQ2 3×3 ロークス・グラフは、9頂点のグラフの中で唯一のそれか？
• RQ3 頂点数が8個以下のグラフで、3人の遅いコプスを必要とするものは存在するか？
• RQ4 最大次数が有界なグラフの構造を用いて、その遅いコプス数を分類できるか？
• RQ5 ロークス・グラフ Kₙ□Kₙ は、遅いコプス数nをもつ唯一の最小グラフを表すか？

主な発見

• 3×3 ロークス・グラフ（K₃□K₃）は、頂点数9個のグラフの中で唯一、遅いコプス数3をもつ。
• 頂点数が8個以下のいかなるグラフに対しても、遅いコプス数は3ではない。すべてのグラフで cₗ(G) ≤ 2 である。
• 証明により、最大次数 ≤ 3 かつ最小次数 ≥ 2 をもつ9頂点のすべてのグラフの中で、3人の遅いコプスを必要とするのは K₃□K₃ のみであることが示された。
• この結果により、Kₙ□Kₙ が遅いコプス数nをもつ唯一の最小グラフであるという予想のn=3の場合が裏付けられた。
• 補足として、n頂点のグラフで最大次数Δ ≥ n−9 ならば、cₗ(G) ≤ 3 であることが示された。
• 解析により、15頂点以下のグラフでΔ = 5またはΔ = 4であるものは、部分グラフへの帰納とコプス配置戦略を用いて既知のケースに還元可能であることが分かった。