[論文レビュー] The A-truncated K-moment problem

Jiawang Nie|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2012

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 41被引用数 49

ひとこと要約

本稿は、$\tau$-切断$K$-モーメント問題（$\mathcal{A}$-TKMP）を解くための数値的アルゴリズムを提案する。この問題は、与えられたマルチシーケンスが$K$-測度をもつかどうかを特定することを目的としている。本手法は、階層的な半定値計画法においてランダム化された目的関数を用い、漸近的または有限ステップで平坦拡張を達成することで、代表測度の存在・非存在を証明し、$r \leq |\mathcal{A}|$ を満たす$r$-原子的解を生成する。このアプローチは、CP分解やSOEP分解のような問題を一般化し、数値的に解けるようにする。

ABSTRACT

Let A be a finite subset of N^n, and K be a compact semialgebraic set in R^n. An A-tms is a vector y indexed by elements in A. The A-truncated K-moment problem (A-TKMP) studies whether a given A-tms y admits a K-measure or not. This paper proposes a numerical algorithm for solving A-TKMPs. It is based on finding a flat extension of y by solving a hierarchy of semidefinite relaxations {(SDR)_k} for a moment optimization problem, whose objective R is generated in a certain randomized way. If y admits no K-measures and R[x]_A is K-full, then (SDR)_k is infeasible for all K big enough, which gives a certificate for the nonexistence of representing measures. If y admits a K-measure, then for almost all generated R, we prove that: i) we can asymptotically get a flat extension of y by solving the hierarchy {(SDR)_k\}; ii) under a general condition that is almost sufficient and necessary, we can get a flat extension of y by solving (SDR)_k for some k; this occurred in all our numerical experiments; iii) the obtained flat extensions admit a r-atomic K-measure with r <= |A|. The decomposition problems for completely positive matrices and sums of even powers of real linear forms, and the standard truncated K-moment problems, are special cases of A-TKMPs, and hence can be solved numerically by this algorithm.

研究の動機と目的

• 与えられた$\mathcal{A}$-tmsが$K$-代表測度をもつかどうかを特定する$\mathcal{A}$-切断$K$-モーメント問題（$\mathcal{A}$-TKMP）を解くための数値的アルゴリズムを開発すること。
• 測度が存在しない場合に、$k$が十分に大きいときの半定値緩和の不可解性を用いて、$K$-測度の非存在を証明すること。
• $K$-測度が存在する場合に、与えられた$\mathcal{A}$-tmsの平坦拡張を計算することで、有限原子的代表測度の構築を可能にすること。
• 得られる測度が$r \leq |\mathcal{A}|$ を満たす$r$-原子的であることを保証すること。これはスパarsityと補集合サイズの観点で最適である。

提案手法

• アルゴリズムは、ランダム化された目的関数$R$（$\Sigma_{n,d}$、平方和の集合）から選ばれるものを使って、モーメント最適化問題の階層的半定値緩和$(\mathtt{SDR})_k$を用いる。
• 与えられた$\mathcal{A}$-tms $y$の平坦拡張を、階層$\{ (\mathtt{SDR})_k \}_{k=1}^\infty$ を用いて探索し、モーメント行列と局所化行列の構造を活用する。
• ランダム化された目的関数$R$により、ほとんどすべての選択に対して、$K$-測度が存在する場合に、漸近的に平坦拡張を回復できることが保証される。
• $\mathbb{R}[x]_{\mathcal{A}}$ が$K$-フルであるとき、$k$が十分に大きい場合に$(\mathtt{SDR})_k$が不可解になることで、$K$-測度が存在しないことが証明される。
• 平坦拡張から$K$-代表測度を構築し、$r \leq |\mathcal{A}|$ を満たす$r$-原子的であることが保証される。
• 完全正方形行列分解や偶数次の線形形式の平方和の和への応用など、特殊なケースに適用可能であり、これらはすべて$\mathcal{A}$-TKMPに再定式化できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた$\mathcal{A}$-tmsがコンパクトな半代数的集合$K$に対して$K$-測度をもつかどうかを特定する数値的アルゴリズムを開発できるか？
• RQ2 測度が存在しない場合に、非存在の証明を提供できるか？
• RQ3 どのような条件下で、アルゴリズムが有限ステップで$\mathcal{A}$-tmsの平坦拡張を計算できるか？
• RQ4 アルゴリズムが$r \leq |\mathcal{A}|$ を満たす$r$-原子的$K$-代表測度を生成できるか？
• RQ5 CP分解やSOEP分解といった難解な問題を、このアルゴリズムで数値的に解く方法は何か？

主な発見

• ほとんどすべてのランダム化目的関数$R$に対して、$K$-測度が存在する場合、階層$\{ (\mathtt{SDR})_k \}_{k=1}^\infty$ は漸近的に$\mathcal{A}$-tms $y$の平坦拡張を生成する。
• もし$y$が$K$-測度をもたず、かつ$\mathbb{R}[x]_{\mathcal{A}}$ が$K$-フルであるならば、十分に大きな$k$に対して$(\mathtt{SDR})_k$は不可解となり、非存在の証明が得られる。
• ほとんど必要十分な一般条件のもとで、ある有限の$k$に対して$(\mathtt{SDR})_k$を解くことで平坦拡張が得られ、有限ステップ収束が可能になる。
• 得られた平坦拡張から得られる$K$-代表測度は、$r \leq |\mathcal{A}|$ を満たし、これは補集合サイズの観点で最適である。
• 本アルゴリズムは、$[-1,1]^2$ 上の6次元tmsに対して、理論的上限$ r \leq |\mathcal{A}| = 28 $ に一致する10原子的代表測度を効果的に計算できた。
• 本手法は、標準的な切断$K$-モーメント問題に一般化可能であり、CP分解やSOEP分解の問題を効率的でないアルゴリズムが存在しなかった状況で、数値的に解けるようにした。