[논문 리뷰] The Abelian-Nonabelian Correspondence for $I$-functions

Rachel Webb|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 38인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 재귀적 군 $G$ 와 그 최대 토러스 $T$ 의 GIT 몫 $Z//G$ 와 $Z//T$ 의 소형 I-함수 사이의 아벨-비아벨 대응을 확립한다. 주요 결과는 $Z//G$ 의 $I$-함수의 당김을 $Z//T \dashrightarrow Z//G$ 의 유리 사상에 의해 표현하는 명시적 공식을 유도함으로써, 곡선류의 올림에 대한 합으로 표현되며, 찰스 클래스 요소의 곱으로 가중되어, 그라스만다인 배럴과 칼라비-야우 초면체의 $J$-함수 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We prove the abelian-nonabelian correspondence for quasimap $I$-functions. That is, if $Z$ is an affine l.c.i. variety with an action by a complex reductive group $G$, we prove an explicit formula relating the quasimap $I$-functions of the GIT quotients $Z//_θ G$ and $Z//_θ T$ where $T$ is a maximal torus of $G$. We apply the formula to compute the $J$-functions of some Grassmannian bundles on Grassmannian varieties and Calabi-Yau hypersurfaces in them.

연구 동기 및 목표

• 재귀적 군의 작용을 가진 애프라인 l.c.i. 다양체 $Z$ 에 대해, $Z//G$ 와 $Z//T$ 의 쿼즈맵 I-함수 사이의 정확한 대응을 확립한다.
• 특히 $I$-함수의 맥락에서, 아벨-비아벨 대응을 등급 및 왜곡 이론으로 확장한다.
• 그라스만다인 배럴과 그라스만다인 다양체 내 칼라비-야우 초면체의 $J$-함수를 위한 계산 프레임워크를 제공한다.
• 논문 [IIM17] 의 일시적 결과를 엄밀히 증명함으로써, 쿼즈맵 설정에서의 $I$-함수 대응을 완성한다.

제안 방법

• 곡선류 $\beta$ 의 올림 $\tilde{\beta} \in \operatorname{Hom}(\operatorname{Pic}^T(Z),\mathbb{Z})$ 에 대한 합으로 표현하는 공식을 유도하여, $g^*I^{Z//G}_\beta(z)$ 를 표현한다.
• 군 $G$ 의 루트 $\rho$ 에 대한 비율의 곱을 이용하여, $Z//T$ 와 $Z//G$ 의 $I$-함수를 연결한다. 이 비율은 무한 곱의 찰스 클래스 $c_1(\mathscr{L}_\rho) + kz$ 의 비율로 구성된다.
• Proposition 4.0.1 을 활용하여, $\mathbb{P}^1$ 에서 $[Z/G]$ 와 $[Z/T]$ 로의 쿼즈맵 모듈라이 공간의 기하학을 분석하고, 고정점 집합과 평가 사상들을 식별한다.
• CKS08 의 재구성 결과와 CK14 의 미러 정리를 적용하여, 프로젝티브 팬오 몫에 대해 전체 아벨-비아벨 대응을 유도한다.
• 안정된 게이지된 맵과 쿼즈맵 이론을 활용하여, 특히 $Z$ 가 벡터 공간일 경우 등급 및 왜곡 $I$-함수를 다룬다.
• 고정점 집합 $F_{\tilde{\beta}}(Z//G)$ 의 구조를 분석하고 $I$-효율성 조건을 검증함으로써, 그라스만다인 다양체 위의 그라스만다인 배럴에 대한 명시적 $I$-함수를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아벨 몫 $Z//G$ 의 쿼즈맵 $I$-함수는 그 아벨화인 $Z//T$ 의 $I$-함수로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ2 쿼즈맵 설정에서 아벨-비아벨 대응 하에 $Z//G$ 와 $Z//T$ 의 $I$-함수 사이의 정확한 공식은 무엇인가?
• RQ3 $I$-함수 대응이 종수 0 과일러-와이튼 불변량에 대해 전체 아벨-비아벨 대응을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 $I$-함수 대응은 어떻게 등급 및 왜곡 이론으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 $I$-함수 공식은 그라스만다인 다양체 내 그라스만다인 배럴과 칼라비-야우 초면체의 $J$-함수 계산에 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 Theorem 1.1.1 을 증명하여, $g^*I^{Z//G}_\beta(z)$ 의 완전한 공식을 올림 $\tilde{\beta}$ 에 대한 합과 찰스 클래스 비율의 곱으로 제시한다. 이는 $Z//T$ 의 $I$-함수로부터 $Z//G$ 의 $I$-함수를 완전히 결정한다.
• 만약 $Z$ 가 벡터 공간이라면, 주요 정리와 [CCK15, Thm 5.4] 에서 알려진 $Z//T$ 의 $I$-함수 공식을 조합함으로써, $I^{Z//G}_\beta(z)$ 에 대한 닫힌 형태의 표현식을 얻는다.
• 등급 및 왜곡된 $I$-함수 대응은 Corollary 6.1.1 과 Corollary 6.2.1 에서 확립되어, 더 넓은 기하학적 맥락으로 결과를 확장한다.
• 만약 $Z$ 가 벡터 공간이라면, $Z//G$ 에 대한 큰 $I$-함수를 구성할 수 있으며, 이는 $Gr(k,n)$ 과 같은 그라스만다인의 명시적 $I$-함수 공식을 복원한다. 이는 Corollary 6.3.1 에서 보여진다.
• 이 방법은 그라스만다인 다양체 위의 그라스만다인 배럴에 대해 등급 및 왜곡된 소형 $J$-함수를 명시적으로 계산할 수 있게 하며, Theorem 6.5.1 에서 이를 입증한다.
• 고정점 집합 $F_{\tilde{\beta}}(Z//G)$ 의 기하학이 완전히 묘사되었으며, 이는 $Z^s(G)/P_{\tilde{\alpha}}$ 위의 플라그 배럴로의 닫힌 매립으로 표현됨을 보여, $I$-함수 계산에 필수적이다.