[論文レビュー] The adjoint representation inside the exterior algebra of a simple Lie algebra

Corrado De Concini, Paolo Papi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、単純リー代数 $\mathfrak{g}$ からその双対への $\mathfrak{g}$-不変な多重線形交代形式の空間が、$A = (\bigwedge \mathfrak{g}^* \otimes \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ と表記され、$\bigwedge \mathfrak{g}^*$ のすべての原始的不変量の生成する外積代数（最高次数のものを除く）上で自由加群としてのランク $2r$ を持つことを証明する。この結果は、対称な2次形式 $e(-,-)$ と、次数 $2m_i$ および $2m_i-1$ の明示的生成子 $f_i, u_i$ を用いて得られ、構造定数はチェバレフの透過性とルート系のデータによって決定される。

ABSTRACT

For a simple complex Lie algebra $\mathfrak g$ we study the space of invariants $A=\left( \bigwedge \mathfrak g^*\otimes\mathfrak g^* ight)^{\mathfrak g}$, (which describes the isotypic component of type $\mathfrak g$ in $ \bigwedge \mathfrak g^*$) as a module over the algebra of invariants $\left(\bigwedge \mathfrak g^* ight)^{\mathfrak g}$. As main result we prove that $A$ is a free module, of rank twice the rank of $\mathfrak g$, over the exterior algebra generated by all primitive invariants in $(\bigwedge \mathfrak g^*)^{\mathfrak g}$, with the exception of the one of highest degree.

研究の動機と目的

• リー代数 $\mathfrak{g}$ の外積代数 $\bigwedge \mathfrak{g}^*$ における随伴表現の同型成分を、不変代数 $(\bigwedge \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ 上の加群として記述すること。
• $A = (\bigwedge \mathfrak{g}^* \otimes \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ の加群構造を特定すること。これは $\mathfrak{g}$-可換な $\mathfrak{g}$ から $\mathfrak{g}^*$ への多重線形交代形式を分類する。
• 外積代数の生成する原始的不変量（最高次数のものを除く）上で、$A$ がランク $2r$ の自由加群であることを、対称2次形式 $e(-,-)$ と明示的生成子 $f_i, u_i$ を用いて確立すること。
• 構造定数 $c_{i,j}$ と最高次数の原始的不変量 $P_r$ が生成子に与える作用を、透過性とルート系のデータを含む明示的公式によって計算すること。

提案手法

• 論文は、カルタン形式によって誘導される、$A$ 上の値を不変代数 $\Gamma = (\bigwedge \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ にとる、次数付き対称2次形式 $e(-,-)$ を構成する。
• 次数 $2m_i$ および $2m_i - 1$ の明示的生成子 $f_i, u_i \in A$ を定義する。ここで $m_i$ はルート系の指数である。
• チェバレフの透過性および制限定理を用いて、形式 $e(-,-)$ をカルタン部分代数上の $W$-不変多項式値の $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W$-値2次形式に還元する。
• 構造定数 $c_{i,j}$ はペアリング $e(f_i, u_j)$ を用いて計算され、$m_i + m_j - 1 = m_k$ となる場合にのみ非ゼロとなり、そのとき $P_k$ の非ゼロ倍数となる。そうでない場合はゼロである。
• タイプ $D_{2n}$ の場合、指数 $m_n = m_{n+1} = 2n-1$ の重複性を考慮し、$i,j \notin \{n,n+1\}$ のとき $e(f_i, u_j)$ は $P_n + P_{n+1}$ を含み、特定のペアでは $P_n, P_{n+1}$ を個別に含む。特に $e(f_n, u_{n+1}) = c_{n,n+1} P_{2n}$ である。
• 最高次数の原始的不変量 $P_r$ の生成子への作用は、自己随伴乗法公式 (1.5) および (1.6) を用いて記述され、構造定数の比 $c_i c_j^{-1}$ を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間 $A = (\bigwedge \mathfrak{g}^* \otimes \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ は、$(\bigwedge \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ の原始的不変量の外積代数上で自由加群か？
• RQ2 $A$ は、最高次数のものを除くすべての原始的不変量が生成する部分代数上で、ランクと生成集合をどのように持つか？
• RQ3 2次形式 $e(f_i, u_j)$ における構造定数 $c_{i,j}$ は、リー代数 $\mathfrak{g}$ のルート系と指数にどのように依存するか？
• RQ4 最高次数の原始的不変量 $P_r$ は生成子 $f_i, u_i$ にどのように作用するか？
• RQ5 指数が一意でないタイプ $D_{2n}$ の場合、結果にどのような差が生じるか？

主な発見

• 空間 $A$ は、原始的不変量 $P_1, \ldots, P_{r-1}$ が生成する外積代数上で、ランク $2r$ の自由加群であり、次数 $2m_i$ および $2m_i - 1$ の明示的生成子 $f_i, u_i$ を持つ。
• 2次形式 $e(f_i, u_j)$ は、$m_i + m_j - 1 = m_k$ となるある指数 $m_k$ に対してのみ非ゼロであり、そのとき $P_k$ の非ゼロ倍数となる。定数 $c_{i,j}$ は正規化に依存する。
• タイプ $D_{2n}$ の場合、$i,j \notin \{n,n+1\}$ ならば $e(f_i, u_j)$ は $P_n + P_{n+1}$ を含み、特定のペアでは $P_n, P_{n+1}$ を個別に含む。特に $e(f_n, u_{n+1}) = c_{n,n+1} P_{2n}$ である。
• $P_r$ の乗法は $e(-,-)$ に関して自己随伴であり、その生成子への作用は、構造定数の比 $c_i c_j^{-1}$ を含む再帰的公式 (1.5) および (1.6) で与えられる。
• $E_6$ における $A_2, A_6, A_8$、$E_7$ および $E_8$ における $A_2, A_8, A_{12}$ の原始的不変量の明示的公式を、べき和とパフリアンを用いて計算した。スカラー積 $(da, db)$ が高次の不変量を定義する。
• $E_7$ および $E_8$ のスカラー積関係における定数 $d_{i,j}$ は明示的に表され、非自明な関係 $6A_{18} \cong 7A_8 \circ A_{12}$ および $A_{14} \circ A_{18} \cong \frac{3}{4}A_{30}$ が示された。