[論文レビュー] The Algebroid Structure of Double Field Theory

Athanasios Chatzistavrakidis, Larisa Jonke+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二重接続の構造を射影することにより、DFT（二重場理論）の背後にある代数的構造を同定する。DFTにおける強い制約は、Courant接続の公理の特定の緩和に対応しており、主な貢献はDFTを強制的制約のない状態で、Jacobi恒等式と同型性の恒等式が制御された方法で破れるが、DFTの前段階としての「前DFT接続」としての構造を確立することにある。強い制約を課すと、DFTは標準的なCourant接続に還元される。

ABSTRACT

By doubling the target space of a canonical Courant algebroid and subsequently projecting down to a specific subbundle, we identify the data of double field theory (DFT) and hence define its algebroid structure. We specify the properties of the DFT algebroid. We show that one of the Courant algebroid properties plays the role of the strong constraint in the context of DFT. The DFT algebroid is a special example when properties of a Courant algebroid are relaxed in a specific and dependent manner. When otherwise, we uncover additional structures.

研究の動機と目的

• 強い制約を課す前のDFTの背後にある数学的構造を同定すること。
• DFT接続が、拡張された空間上のより大きなCourant接続からどのように生じるかを明確化すること。
• 強い制約がDFT接続を標準的なCourant接続に還元する役割を検討すること。
• Courant接続からDFTに至る中間の接続タイプを含む、緩和された構造の連鎖を探索すること。

提案手法

• 標準的なCourant接続構造を二重化することで、$TM \oplus T^*M \oplus TM \oplus T^*M$ 上に二重Courant接続を構成する。
• 特定の部分バンドルへの射影によりDFT接続を定義し、Dorfman括弧、対称内積、アーカップ写像を保存する。
• 強い制約を $\rho^K{}_I \eta^{IJ} \rho^L{}_J = 0$ と特定し、これは $\langle \mathcal{D}f, \mathcal{D}g \rangle$ の消滅を強制する。
• Courant接続の公理の緩和を分析する：ジャコビ恒等式、同型性の性質、$\mathcal{D}$-直交性の緩和により、前Courant接続、前・アントゥ・Courant接続、前DFT接続が得られる。
• 超多様体形式を用いて、古典的マスター方程式 $\{\Theta,\Theta\}=0$ の失敗を $\{\{\Theta,\Theta\},f\}=0$ として解釈し、緩和された構造を特徴付ける。
• DFT接続がDorfman括弧を備えた計量接続の公理を満たすことを示し、Leibniz則、整合性、および $A \circ A = \mathcal{D}\langle A,A\rangle$ を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い制約を課す前のDFTの数学的構造は何か？
• RQ2 DFT接続は、拡張空間上の元のCourant接続とどのように関係しているか？
• RQ3 DFT接続ではCourant接続のどの公理が緩和されており、その緩和はどのように制御されているか？
• RQ4 DFT接続は、一般化接続の階層における前DFT接続として理解できるか？
• RQ5 強い制約がDFT接続からCourant接続への還元において果たす幾何的役割は何か？

主な発見

• DFT接続は前DFT接続であり、ジャコビ恒等式と同型性の恒等式が破れるが、Leibniz則と整合性条件は保持される。
• 強い制約 $\rho^K{}_I \eta^{IJ} \rho^L{}_J = 0$ は $\langle \mathcal{D}f, \mathcal{D}g \rangle = 0$ と同値であり、欠落しているCourant接続の公理を回復する。
• 強い制約を課すと、DFT接続は直接的に標準的なCourant接続に還元され、DFTが超重力に還元されるという既知の事実を裏付ける。
• DFT接続構造は、Dorfman括弧を備えた計量接続と等価であり、$A \circ (fB) = f(A \circ B) + (\rho(A)f)B$ および $A \circ A = \mathcal{D}\langle A,A\rangle$ を満たす。
• Courant接続 → 前Courant接続 → 前・アントゥ・Courant接続 → 前DFT接続という構造の階層は、公理の逐次的緩和から生じ、DFTは完全還元の直前段階に位置する。
• 超多様体形式により、DFT接続が、$\{\{\Theta,\Theta\},f\} = 0$（任意の関数 $f$ に対して）を満たすシンプレクティックほぼリー2代数的接続に対応することが確認され、古典的マスター方程式の制御された失敗を示している。