[論文レビュー] The Alive Particle Filter

Ajay Jasra, Anthony Lee+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2013

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 12被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、HMMのABC近似やレアイベント問題において一般的に見られるインジケータ型ポテンシャルを伴うフェインマン＝ハラスモデルに対する、新たなアルゴリズム「アライブ・パーティクル・フィルタ」を提案する。この手法は、特定の数のパーティクルが「生き残り」（つまり、ターゲット集合内に存在する）まで再サンプリングを繰り返すことで、崩壊を防ぐ。この方法により、正規化定数の不偏推定が保証され、時間に一様なLpバインディングと中心極限定理が得られ、ランダムな1ステップあたりの計算コストにもかかわらず、頑健なパーティクルMCMC推論が可能になる。

ABSTRACT

In the following article we develop a particle filter for approximating Feynman-Kac models with indicator potentials. Examples of such models include approximate Bayesian computation (ABC) posteriors associated with hidden Markov models (HMMs) or rare-event problems. Such models require the use of advanced particle filter or Markov chain Monte Carlo (MCMC) algorithms e.g. Jasra et al. (2012), to perform estimation. One of the drawbacks of existing particle filters, is that they may 'collapse', in that the algorithm may terminate early, due to the indicator potentials. In this article, using a special case of the locally adaptive particle filter in Lee et al. (2013), which is closely related to Le Gland & Oudjane (2004), we use an algorithm which can deal with this latter problem, whilst introducing a random cost per-time step. This algorithm is investigated from a theoretical perspective and several results are given which help to validate the algorithms and to provide guidelines for their implementation. In addition, we show how this algorithm can be used within MCMC, using particle MCMC (Andrieu et al. 2010). Numerical examples are presented for ABC approximations of HMMs.

研究の動機と目的

• フェインマン＝ハラスモデルにおけるインジケータ型ポテンシャルを扱う際の、標準的なパーティクル・フィルタが直面する崩壊問題に対処すること。
• 各時刻で固定数のパーティクルが「生き残り」（つまりターゲット集合内に存在する）ことを保証するパーティクル・フィルタの開発。これにより、重みがゼロとなるパーティクルによる停止を回避する。
• インジケータ型ポテンシャルの文脈において、新しいアルゴリズムの理論的保証を確立すること。具体的には、時間に一様なLpバインディング、中心極限定理、不偏性を含む。
• 特にHMMのABC近似に適した、正規化定数の不偏推定を保証することで、信頼性の高いパーティクルMCMC推論を可能にすること。
• O(n)のパーティクル数における相対的分散の増大の理論的分析を通じて、実装ガイドラインを提供すること。

提案手法

• Markovカーネルを用いてパーティクルを逐次生成し、正確にN個のパーティクルがターゲット集合Bn内に到達するまで繰り返すことで、崩壊を防ぐ。
• N個の生き残りパーティクルを達成するために必要な再サンプリング回数の確率的数を負の二項分布でモデル化する。
• 与えられたダイナミクス下で、パーティクル・フィルタ推定値ηnTn(φ)がフェインマン＝ハラス周辺分布ηn(φ)に対して不偏であることが示される。
• 全期待値の法則を用いて条件付き期待値を導出し、生き残りと死んだパーティクルの割合に基づいて重みを調整する。
• Neuts & Zacks (1967)およびZacks (1980)による負の二項確率変数の比の期待値に関する結果を理論的分析に活用する。
• パーティクルMCMC（PMCMC）フレームワーク内に統合され、ABC-HMMにおける静的パラメータ推論が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェインマン＝ハラスモデルにおいてインジケータ型ポテンシャルを用いる場合に、崩壊を防ぐパーティクル・フィルタを設計できるか？
• RQ2 提案されたアルゴリズムは、正規化定数γn(φ)の推定を不偏に保つことができるか？
• RQ3 この新しい再サンプリング方式下で、パーティクル・フィルタ推定値の時間に一様なLp収束性はどのような性質を示すか？
• RQ4 N = O(n)を仮定した場合、推定値γn(φ)の相対的分散は時刻nとともにどのように増大するか？
• RQ5 ABC-HMMにおけるベイズ推論のためのパーティクルMCMCスキームに、このアルゴリズムを効果的に統合できるか？

主な発見

• パーティクル・フィルタ推定値ηnTn(φ)は、フェインマン＝ハラス周辺分布ηn(φ)に対して不偏である。これは、有効なMCMC推論のための重要な性質である。
• パーティクル・フィルタ推定値ηn(φ)について、時間に一様なLpバインディングが確立され、時間経過に伴う安定性が保証される。
• 適切に正規化・中心化されたパーティクル・フィルタ推定値について、中心極限定理が証明され、漸近的正規性が裏付けられる。
• N = O(n)のとき、推定値γn(φ)の相対的分散はnに対して線形に増大する。これは、誤差の増大が制御可能であることを示している。
• この手法は、Leeら（2013）の局所的適応型パーティクル・フィルタの特殊ケースであり、Le Gland & Oudjane（2006）とは異なり、特にγn(φ)推定値の不偏性という理論的保証を有する。
• 正規化定数の不偏推定を保証することで、マージナル尤度の推定が信頼できるものとなり、これは有効な事後分布シミュレーションに不可欠である。