[論文レビュー] The alldifferent Constraint: A Survey

Willem Jan van Hoeve|ArXiv.org|May 8, 2001

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 57被引用数 91

ひとこと要約

この論文は、制約プログラミングにおけるすべて異なる制約（alldifferent constraint）のフィルタリングアルゴリズムについて包括的なサーベイを提供しており、境界整合性からハイパーアーキ・コンシステンシーに至る技術を比較している。最大マッチングに基づく効率的なアルゴリズムを提示しており、値グラフにおける最大マッチングを用いて、O(√n ⋅ m) 時間でハイパーアーキ・コンシステンシーを達成しており、従来の一般手法に比べ顕著な改善がなされている。

ABSTRACT

The constraint of difference is known to the constraint programming community since Lauriere introduced Alice in 1978. Since then, several solving strategies have been designed for this constraint. In this paper we give both a practical overview and an abstract comparison of these different strategies.

研究の動機と目的

• 制約充足問題におけるalldifferent制約のフィルタリング技術について、実用的かつ理論的な概要を提供すること。
• alldifferent制約の文脈において、境界整合性、範囲整合性、アーク整合性、ハイパーアーキ・コンシステンシーといった異なるレベルの局所的整合性を比較すること。
• 値グラフにおける最大マッチングを用いたハイパーアーキ・コンシステンシーを達成する効率的なアルゴリズムを提示・分析すること。
• 一般フィルタリング手法と、提案されたマッチングベースのアプローチとの間での時間計算量の比較を確立すること。
• alldifferent制約フィルタリングにおけるギャップを特定し、低コスト手法や対称的／動的バージョンを含む今後の研究方向性を示唆すること。

提案手法

• 変数を一方の側、ドメイン値を他方の側とする値グラフを構築し、辺は許容される割り当てを表す。
• Hopcroft-Karpアルゴリズムを用いて値グラフにおける最大マッチングを計算し、O(√n ⋅ m) 時間で実行される。
• Bergeの定理を適用して、自由ノードから出発する偶数長の交互パスおよびサイクルを分析することで、任意の最大マッチングに属する辺を特定する。
• すべての最大マッチングに属さない辺を削除することでハイパーアーキ・コンシステンシーを強制し、ドメイン内のいかなる値に対しても非可能性が生じないようにする。
• 非マッチング辺を効率的に同定するために、残余グラフにおける強連結成分をTarjanのアルゴリズムで計算する。
• 最大マッチングのサイズが変数の数と等しいかをチェックすることで解の有無を検証する；一致しない場合、解は存在しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 alldifferent制約に適用可能な異なるレベルの局所的整合性は何か？ それぞれの強さと計算コストはどのように異なるか？
• RQ2 グラフ理論的手法を用いて、alldifferent制約におけるハイパーアーキ・コンシステンシーをどのように効率的に達成できるか？
• RQ3 提案されたハイパーアーキ・コンシステンシー・アルゴリズムの時間計算量は、一般用途のフィルタリング手法と比べてどうなるか？
• RQ4 値グラフにおける最大マッチングを用いて、alldifferent制約下でドメイン内のすべての非可能性な値を特定・削除できるか？
• RQ5 現在のフィルタリング手法の限界と、対称的および動的バージョンを含む潜在的な拡張は何か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、変数数がnで値グラフの辺数がmであるとき、O(√n ⋅ m) 時間でalldifferent制約に対するハイパーアーキ・コンシステンシーを達成する。
• 変数ドメインがdで有界である場合、提案手法の時間計算量はO(dn√n)であるが、これは一般のハイパーアーキ・コンシステンシー・アルゴリズムのO(d!/(d−n)!) に比べ顕著に優れている。
• 最大マッチングがすべての変数ノードをカバーしない場合（|M(GV)| < |XC|）、非可能性が正しく検出される。
• Bergeの定理を用いて、自由ノードから出発する偶数長の交互パスおよびサイクルを分析することで、どの最大マッチングにも属さない辺を同定する。
• フィルタリング処理の結果、有効な割り当てに含まれ得る値のみが残る、縮小された値グラフが得られ、正しさと完全性が保証される。
• Tarjanのアルゴリズムによる強連結成分の計算により、非マッチング辺の効率的同定が可能となり、フィルタリング段階全体の効率性に寄与している。