[論文レビュー] The Approach of Turbulence to the Locally Homogeneous Asymptote as Studied using Exact Structure-Function Equations

R. J. Hill|ArXiv.org|Jun 12, 2002

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 32被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、近似を用いず、空間的・時間的・アンサンブル平均を用いて、高レイノルズ数乱流における局所的均一性への到達を研究するため、ナビエ＝ストークス方程式および非圧縮性条件から正確な構造関数方程式を導出する。主な貢献は、第三階構造関数のトレースが慣性域のスケーリング則を評価するのに優れていることを明らかにしたトレース形式であり、エネルギー散逸率が平均化や等方性仮定なしに現れる。

ABSTRACT

Equations that follow from the Navier-Stokes equation and incompressibility but with no other approximations are called "exact" here. Exact equations relating 2nd and 3rd-order structure functions are obtained, as is an exact incompressibility condition on the 2nd-order velocity structure function. Ensemble, temporal, and spatial averages are all considered because they produce different statistical equations. Exact equations have particularly simple forms for the cases of an average over a sphere in r-space as well as DNS that has periodic boundary conditions. The trace mitigates the effect of anisotropy in the equations, thereby revealing that the trace of the third-order structure function is expected to be superior for quantifying asymptotic scaling laws. The midpoint and the difference of the two points at which the hydrodynamic quantities are obtained are X and r; t is time. Dependencies on X and on the orientation of r and on t fade as the asymptotic statistical states of local homogeneity, local isotropy, and local stationarity, respectively, are approached. The exact equations are thus applicable to study of the approach toward those asymptotic states. A new definition of local homogeneity is contrasted with previous definitions. The approach toward the asymptotic state of local homogeneity is studied by using scale analysis to determine the required approximations and the approximate equations pertaining to experiments and simulations of the small-scale structure of high-Reynolds-number turbulence, but without invoking local isotropy. Those equations differ from equations for homogeneous turbulence.

研究の動機と目的

• ナビエ＝ストークス方程式および非圧縮性条件を用いて、速度勾配および圧力勾配の構造関数に対する正確で摂動論的でない方程式を導出すること。
• 中点位置 X および分離ベクトル r への明示的依存を保ったまま、乱流における局所的均一性への到達を研究可能にする。
• 閉じた近似に依存せずに、直接数値シミュレーション（DNS）および実験における構造関数方程式の評価フレームワークを提供すること。
• 特に局所的等方性の欠如下で、エネルギー散逸率および非圧縮性の役割を正確な方程式において明確にすること。
• 第三階構造関数のトレースを優れた観測量として特定することで、スケーリング則の推定精度を向上させること。

提案手法

• 微分作用素の恒等式および変数変換（X, r, t）を独立変数として用い、空間的・時間的依存性を完全に保持する。
• アンサンブル平均、時間平均、空間平均の3種類の平均化を適用し、それぞれ理論的・実験的・数値的応用に適した統計的方程式を導出する。
• r空間における球対称平均を導入し、方程式を簡略化し、非等方性の影響を軽減し、方向に平均化された構造関数を導出する。
• スケール解析を用いて、小スケール・高レイノルズ数乱流に対して有効な近似方程式を導出し、局所的等方性仮定を一切用いない。
• 第二階構造関数に対する正確な非圧縮性条件を導出し、大スケールの不均一性のため、小スケールで非ゼロの値をとることを示す。
• 第三階構造関数のトレース方程式を定式化し、平均化や等方性仮定なしにエネルギー散逸率を明示的に含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝ストークス方程式から、近似や局所的等方性仮定なしに正確な構造関数方程式をどのように導出できるか？
• RQ2 中点位置 X への依存が無視可能になる条件は何か？これは局所的均一性の到来を示唆する。
• RQ3 第三階構造関数のトレースは、他の成分と比べて慣性域のスケーリング則をどのように異なる形で明らかにするか？
• RQ4 r空間における球対称平均は、方程式をどのように簡略化し、非等方性の影響を軽減するか？
• RQ5 エネルギー散逸率は正確な方程式において果たす役割は何か？なぜ平均化や等方性仮定なしに現れるのか？

主な発見

• 第三階構造関数の正確なトレース方程式は、平均化や局所的等方性仮定なしにエネルギー散逸率を明示的に含んでおり、従来の定式化に比べ顕著な改善である。
• r空間における球対称平均により、構造関数方程式が簡略化され、非等方性の影響が軽減され、第三階構造関数のトレースが慣性域スケーリングの優れた観測量となる。
• 第二階構造関数に対する正確な非圧縮性条件が導出され、大スケールの流れの不均一性のため、小スケールで非ゼロの値をとることが示された。
• スケール解析により、平均速度勾配および時間微分項は局所的均一性への到達段階で保持されねばならず、これにより一部の一般的な近似が誤りであることが判明した。
• 形式主義にすでに不均一性の影響が内蔵されているため、不均一性のための便宜的な補正項を別途導出する必要がなくなる。
• 本手法により、DNS や実験において構造関数方程式を直接評価可能となり、従来の局所的等方性仮定や経験的補正に依存する手法よりも、スケーリング則のより正確な検証が可能となる。