[論文レビュー] The area measure of log-concave functions and related inequalities

Andrea Colesanti, Ilaria Fragalà|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Point processes and geometric inequalities参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Minkowski型摂動における全質量関数の第一変動を考察することにより、対数凸関数に対する面積測度の関数的類似を導入する。関数的Minkowski第一不等式を確立し、対数凸測度に対するlog-Sobolev不等式を導出し、関数的Minkowski問題を提唱し、データに適切な条件下で部分的な存在結果を示す。

ABSTRACT

On the class of log-concave functions on $\R^n$, endowed with a suitable algebraic structure, we study the first variation of the total mass functional, which corresponds to the volume of convex bodies when restricted to the subclass of characteristic functions. We prove some integral representation formulae for such first variation, which lead to define in a natural way the notion of area measure for a log-concave function. In the same framework, we obtain a functional counterpart of Minkowski first inequality for convex bodies; as corollaries, we derive a functional form of the isoperimetric inequality, and a family of logarithmic-type Sobolev inequalities with respect to log-concave probability measures. Finally, we propose a suitable functional version of the classical Minkowski problem for convex bodies, and prove some partial results towards its solution.

研究の動機と目的

• 全質量関数の第一変動を用いて、対数凸関数に対する面積測度の関数的対応を定義すること。
• 対数凸関数に対するMinkowskiの第一不等式の関数的バージョンを確立すること。
• 等周不等式の関数的形と、対数凸確率測度に関する対数Sobolev不等式の族を導出すること。
• 古典的凸体のMinkowski問題の関数的類似を提唱し、その解法を検討すること。

提案手法

• 全質量関数の第一変動を積分表現を用いて計算し、対数凸関数に対する面積測度の定義を得る。
• 関数的設定における支持関数と面積測度を含む積分恒等式を用いて、関数的Minkowski第一不等式を導出する。
• 関数的Minkowski不等式を単位球の場合に特化することで、等周不等式を系として得る。
• 変分的議論とPrékopa-Leindler不等式を用いて、関数的Minkowski不等式から対数Sobolev不等式を導出する。
• 与えられた球面上のBorel測度が適合条件を満たす場合に、対数凸関数を再構成することを目的とする関数的Minkowski問題を提唱する。
• 証明は、全質量関数の微分可能性と、凸関数およびその勾配を含む積分表現式に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸体の面積測度は、全質量の第一変動を用いて、対数凸関数の設定に一般化可能か？
• RQ2 古典的凸体に対するMinkowskiの第一不等式と同様に、対数凸関数に対しても関数的バージョンの不等式が成り立つか？
• RQ3 この枠組みを用いて、等周不等式および対数Sobolev不等式を関数的設定に拡張可能か？
• RQ4 古典的Minkowski問題の関数的類似は存在するか？また、どのような条件下で解が存在するか？

主な発見

• 全質量関数の第一変動は、古典的凸体の面積測度を一般化する関数的面積測度を含む積分表現を備える。
• 関数的Minkowski第一不等式が確立され、第一変動が関数のL^1ノルムの積によって下から抑えられることを示し、特定の対称性条件下で等号が成立する。
• 対数凸関数の等周不等式が系として得られ、関数的境界長が回転対称性を持つ対数凸関数で最小化されることを示す。
• 関数的平均幅と対数凸測度の分散に依存する定数を有する、対数Sobolev不等式の族が得られる。
• 関数的Minkowski問題が提唱され、与えられた測度が重心を零とし、大円に集中していない場合に解が存在することが示される。
• 1次元の場合、凸ポテンシャルの2階微分が可積分である条件の下で、第一変動が零において連続であることが証明される。