[論文レビュー] The art of fitting financial time series with Levy stable distributions

Enrico Scalas, Kyungsik Kim|RePEc: Research Papers in Economics|Aug 23, 2006

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、複数の推定手法と適合度検定を用いて、金融ログリターン時系列を Lévy $\alpha$-安定分布にフィットさせる包括的な手順を提示する。MIB30およびDJIA指数の両者に対して、$\alpha$-安定分布は妥当なフィットを示す（それぞれ $\alpha \approx 1.72$ および $1.81$）。Kolmogorov-Smirnov検定および $\chi^2$ 検定の結果、尾部の過小評価が見られるものの、DJIAデータの適合度がやや良好であることが示された。

ABSTRACT

This paper illustrates a procedure for fitting financial data with $α$-stable distributions. After using all the available methods to evaluate the distribution parameters, one can qualitatively select the best estimate and run some goodness-of-fit tests on this estimate, in order to quantitatively assess its quality. It turns out that, for the two investigated data sets (MIB30 and DJIA from 2000 to present), an $α$-stable fit of log-returns is reasonably good.

研究の動機と目的

• 金融時系列を $\alpha$-安定分布にフィットさせるための、多様な手法を統合した堅牢な手順の開発。
• 主要株価指数のログリターンをモデル化する際の $\alpha$-安定分布の経験的妥当性の評価。
• $\alpha$-安定モデルにおける、異なるパラメータ推定手法および適合度検定の性能比較。
• $\alpha$-安定分布が金融リターンのファットテール行動を十分に捉えられるかどうかの評価。

提案手法

• Nolanによる stable.exe ソフトウェアを用いて、$\alpha$-安定分布の $S1$ パarameterization における4つのパラメータ（$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$）を推定する。
• シミュレーションおよびテストを支援するため、Lévy $\alpha$-安定デイエーツの生成に Chambers-Mallows-Stuck アルゴリズムを採用する。
• その精度と頑健性の高さを考慮し、主たる推定手法として標本特性関数（SCF）法を採用する。
• Kolmogorov-Smirnov（KS）検定および等間隔区間による度数集約（$E_i < 5$ の場合）を用いた $\chi^2$ 検定により、適合度を評価する。
• $S1$ パrameterization（Samorodnitsky-Taqqu）を用い、数値計算のために stable.exe 内部で使用される $S0$ パrameterization に変換する。
• 実証的累積分布関数（CDF）および確率密度関数（PDF）と理論的フィットを比較することで、視覚的および定量的評価を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy $\alpha$-安定分布は、経験的金融ログリターンデータに妥当なフィットを提供できるか？
• RQ2 金融時系列における $\alpha$-安定分布のフィットに最も正確かつ信頼性の高いパラメータ推定手法は何か？
• RQ3 標準的な適合度検定（KSおよび $\chi^2$）は、金融リターンに対する $\alpha$-安定モデルの適合度をどの程度適切に評価できるか？
• RQ4 $\alpha$-安定モデルは、金融リターン分布の尾部をどの程度過小評価または過大評価するか？

主な発見

• 標本特性関数（SCF）法が、MIB30およびDJIAログリターンの両者において、他の推定手法を上回る最良のパラメータ推定を達成した。
• 尾指数 $\alpha$ は、MIB30で1.72、DJIAで1.81と推定され、先行研究と整合的であり、重尾行動を示している。
• Kolmogorov-Smirnov検定では、MIB30の帰無仮説（ログリターンが $\alpha$-安定分布に従う）は棄却された（$D = 0.0387 > d = 0.0334$）が、DJIAでは棄却されなかった（$D = 0.0232 < d = 0.0330$）。
• $\chi^2$ 検定では、MIB30の場合は $\bar{\chi}^2 = 91.5$（自由度10）となり、p値が0（適合度が悪い）を示した。一方、DJIAでは $\bar{\chi}^2 = 26.8$（自由度11）、p値が0.005であり、わずかではあるが許容可能な適合度を示した。
• 実証的CDFおよびPDFと理論的フィットの視覚的比較から、両インデックスにおいて $\alpha$-安定モデルがリターン分布の尾部を過小評価していることが明らかになった。
• 適合度検定に若干の制限が伴うものの、本研究は $\alpha$-安定分布が金融ログリターンに合理的に良いフィットを提供することを結論づけている。特に、DJIAデータに対して顕著である。