[論文レビュー] The Askey-Wilson function transform

Erik Koelink, Jasper V. Stokman|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2000

Mathematical functions and polynomials参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、基本超幾何級数で定義される核を用いて、Askey-Wilson多項式の解析的接続として得られるAskey-Wilson関数変換を、古典的Jacobi変換およびHankel変換の一般化として導入する。主な結果として、L²空間上での等長的同型写像であることが示され、その逆変換は双対パラメータにおける変換として与えられ、量子SU(1,1)と平面運動群のスペクトル理論を統一する。

ABSTRACT

In this paper we present an explicit (rank one) function transform which contains several Jacobi-type function transforms and Hankel-type transforms as degenerate cases. The kernel of the transform, which is given explicitly in terms of basic hypergeometric series, thus generalizes the Jacobi function as well as the Bessel function. The kernel is named the Askey-Wilson function, since it provides an analytical continuation of the Askey-Wilson polynomial in its degree. In this paper we establish the $L^2$-theory of the Askey-Wilson function transform, and we explicitely determine its inversion formula.

研究の動機と目的

• 量子SU(1,1)および関連群における一般化されたフーリエ変換の統一的L²理論の構築を目的とする。
• Askey-Wilsonのq差分作用素の固有関数としてAskey-Wilson関数を定義・解析し、Askey-Wilson多項式を拡張することを目的とする。
• Askey-Wilson関数変換の等長的同型写像性を確立し、双対性を用いてその明示的逆変換を導出することを目的とする。
• 量子SU(1,1)の球ーフーリエ変換と平面運動の量子群におけるL²理論を統一することを目的とする。
• アフィンヘッケ代数の構造にインspiredされた根系に関連するMacdonald関数変換のより広範な理論の基盤を築くこと。

提案手法

• Askey-Wilson関数は、その次数におけるAskey-Wilson多項式の解析的接続として定義され、基本超幾何級数を用いて表現される。
• 変換の核は、スペクトルパラメータに依存する2階q差分作用素Lの解として構成される。
• 双対性の対称性を活用して幾何的パラメータとスペクトル的パラメータを関連づけ、有界でない作用素のスペクトル理論を避けて逆変換公式を得る。
• q-格子上でのAskey-Wilson関数のc関数展開を用いて、一パラメータ族の有界でない測度を定義する。
• Askey-Wilson関数のWronskianの弱極限を計算し、直交性およびユニタリティを確立する。
• 領域の連続的および離散的スペクトル部の分解を用いて、dualityと有界収束定理を応用し、L²等長性および逆変換を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Askey-Wilson関数は、Askey-Wilsonのq差分作用素の非多項式固有関数としてどのように定義可能か？
• RQ2 双対性は、Askey-Wilson関数変換のスペクトル理論において果たす役割は何か？
• RQ3 Askey-Wilson関数変換は、量子SU(1,1)における球ーフーリエ変換と平面運動の量子群におけるL²理論をどのように統一するか？
• RQ4 変換はL²空間上で等長的同型写像に拡張可能か？その逆変換は何か？
• RQ5 一パラメータ族の有界でない測度は、量子群上の調和解析の文脈でどのような意味を持つのか？

主な発見

• Askey-Wilson関数変換は、一パラメータ族の有界でない測度を備えたL²空間間の等長的同型写像に拡張可能である。
• Askey-Wilson関数変換の逆変換は、双対パラメータにおける変換として与えられ、双対性に基づく逆変換公式が確立される。
• 変換は、量子SU(1,1)における球ーフーリエ変換と平面運動の量子群におけるL²理論を統一する。
• 一パラメータ族の有界でない測度に関して、低次のAskey-Wilson多項式に対する明示的な直交関係が導出される。
• Askey-Wilson関数のWronskianの弱極限が計算され、等長性およびユニタリティの証明に重要な技術的道具が得られる。
• 双対性の対称性により、有界でない自己共役作用素のスペクトル解析を回避でき、主結果の証明が簡略化される。