[論文レビュー] The asymptotics of Wilkinson's shift iteration

Ricardo S. Leite, Nicolau C. Saldanha+1 more|ArXiv.org|Dec 27, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ジャコビ行列に対するウィルキンソンシフトQR反復の収束速度を分析し、等差数列を含まないスペクトル（AP-free）の場合、収束が立方であることを証明する。特定の3×3行列で等差数列スペクトルを持つ場合、収束は厳密に2次であり、固定点に収束する初期条件の集合は、符号列によるカントール集合をなし、そのダイナミクスは記号的ダイナミクスとバイデルゴナル座標によって支配される。

ABSTRACT

We study the rate of convergence of Wilkinson's shift iteration acting on Jacobi matrices with simple spectrum. We show that for AP-free spectra (i.e., simple spectra containing no arithmetic progression with 3 terms), convergence is cubic. In order 3, there exists a tridiagonal symmetric matrix P_0 which is the limit of a sequence of a Wilkinson iteration, with the additional property that all iterations converging to P_0 are strictly quadratic. Among tridiagonal matrices near P_0, the set X of initial conditions with convergence to P_0 is rather thin: it is a union of disjoint arcs X_s meeting at P_0, where s ranges over the Cantor set of sign sequences s: N -> {1,-1}. Wilkinson's step takes X_s to X_{s'}, where s' is the left shift of s. Among tridiagonal matrices conjugate to P_0, initial conditions near P_0 but not in X converge at a cubic rate.

研究の動機と目的

• 実対称三重対角行列で単純スペクトルを持つ場合、ウィルキンソンシフトQR反復の漸近的収束速度を特定すること。
• 一般行列において収束が立方であるという長年の予想（特にスペクトルに等差数列が存在しない場合）を解明すること。
• 固定点に収束する初期条件の構造、特に収束が2次となる3×3ケースでの特徴を特定すること。
• 特異点および不連続性の周辺での反復の振る舞いを分析するため、記号的ダイナミクスとバイデルゴナル座標を適用すること。
• 特定の固定点に収束する初期条件の集合のフラクタル的構造を記述し、それが符号列によってインデックス付けされたカントール集合であることを示すこと。

提案手法

• バイデルゴナル座標（固有値と非対角パラメータ）を用いて、グローバルな収束問題を滑らかな座標チャート内での局所的解析に変換する。
• ウィルキンソンシフトを、右下2×2小行列の固有値の中で(n,n)成分に最も近いものとして定義し、QRステップが常に対称三重対角を保つようにする。
• 固定点近傍での反復写像のテイラー展開を適用し、特にシフト関数が最後の非対角パラメータに関して奇関数である場合に立方収束の見積もりを導出する。
• 集合Y（等距離固有値）およびZ（シフトが固有値に等しい）における不連続性を分析し、特定の条件下で反復がZを滑らかに超えて定義可能であることを示す。
• 符号列の収束行動をモデル化する記号的ダイナミクスを用い、各初期条件をカントール集合内の符号列へ写像する。
• 固定点p₀に収束する初期条件の集合Xは、符号列s ∈ {1, -1}^ℕによってインデックス付けされた互いに交わらない区間Xₛの和集合であり、WはXₛをXₛ′に写像する。ここでs′はsの左シフトである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィルキンソンシフトQR反復が、単純スペクトルを持つすべてのジャコビ行列に対して立方収束するという予想は真か？
• RQ2 3×3ケースにおいて、固定点に収束する初期条件の集合の構造は何か、特に収束が2次である場合に注目する。
• RQ3 シフト関数が不連続または特異となる点の周辺で反復はどのように振る舞うか？
• RQ4 収束ダイナミクスは記号的ダイナミクスで記述可能か？収束初期条件の集合の位相的性質は何か？
• RQ5 収束速度とスペクトル構造の関係、特に固有値に等差数列が存在するか否かの有無との関係は何か？

主な発見

• 等差数列を含まないスペクトル（AP-free）の場合、ウィルキンソンシフトQR反復の収束は立方である：あるC > 0が存在し、|(T_{k+1})_{n,n-1}| ≤ C|(T_k)_{n,n-1}|^3 を満たす。
• 3×3ケースでスペクトルに等差数列が存在する場合、固定点p₀が存在し、p₀への収束は厳密に2次であり、p₀に収束する初期条件の集合は符号列によるカントール集合である。
• 固定点p₀に収束する初期条件の集合Xは、符号列s ∈ {1, -1}^ℕによってインデックス付けされた互いに交わらない区間Xₛの和集合であり、自然な位相においてカントール集合をなす。
• 反復写像WはXₛをXₛ′に写像する。ここでs′はsの左シフトであり、収束集合上に記号的ダイナミクスの構造を確立する。
• p₀に近いがXに属さない初期行列では収束が厳密に立方であるため、2次収束は薄くフラクタル的な集合に限定される。
• 集合Xのハウスドルフ次元はp₀の近傍で1以上であり、数値計算の結果、XはLipschitz関数fₛによってパラメータ化された滑らかな曲線Xₛの和集合であると示唆される。