[論文レビュー] The behaviour of the complete eigenstructure of a polynomial matrix under a generic rational transformation

Vanni Noferini|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2011

Matrix Theory and Algorithms参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多項式行列の固有構造が一般の有理関数による変数変換のもとでどのように変化するかを完全な理論的枠組みで確立している。著者は、有理変換の根の重複度に応じて、基本的因子および最小インデックスが予測可能にスケーリングされることを証明しており、MöbiusおよびDickson変換に関する先行研究を任意の有理関数へ一般化している。

ABSTRACT

Given a polynomial matrix P(x) of grade g and a rational function $x(y) = n(y)/d(y)$, where $n(y)$ and $d(y)$ are coprime nonzero scalar polynomials, the polynomial matrix $Q(y) :=[d(y)]^gP(x(y))$ is defined. The complete eigenstructures of $P(x)$ and $Q(y)$ are related, including characteristic values, elementary divisors and minimal indices. A Theorem on the matter, valid in the most general hypotheses, is stated and proved.

研究の動機と目的

• 有理変換における固有構造保存に関する先行研究を一般化し、MöbiusおよびDicksonの場合から任意の有理関数へ拡張すること。
• 多項式行列の基本的因子および最小インデックスが、一般の有理関数による変数変換のもとでどのように変化するかを特定すること。
• 代数閉体に限らない、任意の体上で有効な統一理論を構築すること。
• 元の行列と変換後の行列におけるジョルダン鎖の正確な対応関係を確立すること。
• 変換に基づく前処理を用いた多項式固有値問題の数値解法の設計を支援すること。

提案手法

• 多項式行列 P(x) のグレードを g とし、有理関数 x(y) = n(y)/d(y) を用いて Q(y) = [d(y)]^g * P(n(y)/d(y)) を定義する。
• 体上での P(x) および Q(y) の構造を解析するため、スミス標準形およびユニモジュラー変換を用いる。
• 有限固有値におけるジョルダン鎖および基本的因子を特徴付けるために、根多項式およびその順序を導入する。
• P(x) において (x - x₀)^ℓ が基本的因子であるとき、x(y) = x₀ が根 y₀ を重複度 m で持つならば、Q(y) において (y - y₀)^{mℓ} が基本的因子となることを証明する。
• P(x) の左/右最小基底を Q(y) のそれと関連付けることで、最小インデックスの振る舞いを分析し、変換の次数に応じてスケーリングされることを示す。
• 根多項式の持ち上げを用いて、P(x) の x₀ におけるジョルダン鎖を、x(y) = x₀ を満たす根 y₀ における Q(y) のジョルダン鎖へ明示的に写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の有理関数による変数変換のもとで、多項式行列の完全な固有構造はどのように変化するか？
• RQ2 P(x) の基本的因子と変換行列 Q(y) の基本的因子との間の正確な関係は何か？
• RQ3 有理関数変換のもとで、P(x) の最小インデックスは Q(y) のそれとどのように関係するか？
• RQ4 このような変換において、無限大における基本的因子およびジョルダン鎖はどのように変化するか？
• RQ5 MöbiusおよびDicksonの場合を越えて、変換則を任意の有理関数へ一般化できるか？

主な発見

• P(x) の形 (x - x₀)^ℓ である基本的因子は、x(y) = x₀ における根 y₀ の重複度 m を用いて、Q(y) において (y - y₀)^{mℓ} に変換される。
• P(x) の左および右最小インデックスは、有理関数変換の次数、すなわち deg(x(y)) = max{deg n(y), deg d(y)} に比例して乗算される。
• P(x) の無限大における基本的因子は、x(y) による無限大の逆像における有限の基本的因子に変換され、その重複度は変換の次数に比例してスケーリングされる。
• P(x) の有限固有値 x₀ におけるジョルダン鎖は、x(y) = x₀ を満たす根 y₀ における Q(y) のジョルダン鎖へ写像され、その次数は根の重複度 m に比例してスケーリングされる。
• 変換は強線形化のクロネッカー構造を保ち続けるため、多項式固有値問題に対する構造を保全する数値解法の設計が可能になる。
• 代数的閉包の議論とユニモジュラー同値性を用いることで、これらの結果は代数的閉体に限らず、任意の体上で成り立つ。