[論文レビュー] The Brouwer fixed point theorem and the Borsuk--Ulam theorem

Anthony Carbery|arXiv (Cornell University)|May 21, 2012

Functional Equations Stability Results被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ストークスの定理と次数論を用いて、バナッハ固定点定理の既知の証明に類似した微分位相的証明を用いて、ボルスキー＝ウラムの定理を示している。滑らかな等変写像が n-次元球面から (n−1)-次元球面へ存在しないことを示すために、ある微分形式の積分が一方ではランク不足により消えるが、他方では相反対称性により非ゼロであるとし、その矛盾から写像の非存在を導く。

ABSTRACT

These informal notes, not intended for publication, provide an approach to the Borsuk--Ulam theorem via Stokes' theorem, in a similar spirit to Lima's proof of the Brouwer fixed point theorem. They are intended to be accessible to anyone with a knowledge of basic point-set topology and several variable calculus. Some of the argument relies upon previous ideas of Shchepin.

研究の動機と目的

• バナッハ固定点定理の既知の証明に類似した微分位相的証明を用いて、ボルスキー＝ウラムの定理を示すこと。
• 滑らかな等変写像が n-次元球面から (n−1)-次元球面へ存在しないことを示し、これによりボルスキー＝ウラムの定理が導かれるようにすること。
• ストークスの定理とある微分形式の積分が非ゼロであることを用いて、そのような写像の存在を仮定した場合に矛盾を導くこと。
• サードの定理と等変性を用いて次元削減を行い、一般の場合を n=3 の場合に還元すること。
• シリンダー模型と境界成分における形式の積分の解析を用いて、次元 3 における背理法による証明を完了すること。

提案手法

• 滑らかな等変写像 f: S^n → S^{n-1} の存在を仮定する。これはすべての x に対して f(x) ≠ f(-x) を意味する。
• g(x) = (f(x) - f(-x))/|f(x) - f(-x)| と定義し、S^n から S^{n-1} への奇関数写像とし、g(-x) = -g(x) を満たす。
• ストークスの定理を用いて、n-球の内部におけるヤコビアン行列式の積分 det Dg を、境界積分 ∫_{S^{n-1}} g₁ dg₂ ∧ … ∧ dgₙ と関連付ける。
• 境界積分が相反対称性と赤道における写像の巻き数によって非ゼロであることを示す。
• 次元削減を用いる：n ≥ 4 に対してそのような写像が存在するならば、S^{n-1} から S^{n-2} への滑らかな等変写像が存在する。
• 次元 3 における背理法による証明を、C = D² × [-1,1] というシリンダー模型を用いて行い、f₃ と df₁ ∧ df₂ を含む境界積分が消えないことを示し、Df のランク不足と矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ固定点定理の証明に類似した方法で、ストークスの定理と微分形式を用いてボルスキー＝ウラムの定理を証明できるか？
• RQ2 等変写像の相反対称性を反映するような、n-球の境界における微分形式の積分が非ゼロとなるものがあるか？
• RQ3 滑らかな等変写像 S^n → S^{n-1} の存在が、微分形式の積分を用いて矛盾を引き起こすか？
• RQ4 滑らかな近似と次元削減を用いて、ボルスキー＝ウラムの定理を高次元から n=3 の場合に還元できるか？
• RQ5 次元 2 および 3 における等変写像の非存在を示す際に、巻き数またはネット弧長が果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の滑らかな等変写像 g: S^{n-1} → S^{n-1} に対して、相反対称性と奇数の巻き数により、積分 ∫_{S^{n-1}} g₁ dg₂ ∧ … ∧ dgₙ は非ゼロである。
• n=2 の場合、積分 ∫_{S¹} g₁ dg₂ は π の奇数倍に等しく、非ゼロである。これはヤコビアン行列式の消滅と矛盾する。
• 滑らかな等変写像 f: S^n → S^{n-1} の存在を仮定すると、積分 ∫_{D^n} det Df がランク不足により消える一方、ストークスの定理により非ゼロの境界積分に等しくなるため、矛盾が生じる。
• 次元削減により、n ≥ 4 に対して S^n から S^{n-1} への滑らかな等変写像が存在するならば、S^{n-1} から S^{n-2} への同様の写像が存在する。これは帰納的に問題を簡略化する。
• 次元 3 において、シリンダー C = D² × [-1,1] 上の滑らかな等変写像 f: C → S² が存在すると仮定すると、境界積分 ∫_{D₊} f₃ df₁ ∧ df₂ が等変性により非ゼロであるため、矛盾が生じる。
• 最終的な矛盾は、積分 ∫_{D₊} df₁ ∧ df₂ が非ゼロ（π の奇数倍）であるのに対し、Df がフルランクでない限り同じ積分は消えるはずであるため生じる。これにより、そのような写像は存在し得ないことが証明される。