[論文レビュー] The Calderón problem for the fractional Schrödinger equation with drift

Mihajlo Cekić, Yi‐Hsuan Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Numerical methods in inverse problems被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の次元 $ n \geq 1 $ において、漂い項を含む分数級 Calderón 問題について、初めての一意性および安定性の結果を確立した。境界外測定値が無限個あれば、漂い項およびポテンシャルが一意に回復可能であることを証明した。局所的状況とは異なり、非局所的問題はゲージ不変性を欠くため、係数の完全な回復が可能であり、特異性理論と Runge 近似を用いて、有限測定値による再構成アルゴリズムが構築された。

ABSTRACT

We investigate the Calderón problem for the fractional Schrödinger equation with drift, proving that the unknown drift and potential in a bounded domain can be determined simultaneously and uniquely by an infinite number of exterior measurements. In particular, in contrast to its local analogue, this nonlocal problem does \emph{not} enjoy a gauge invariance. The uniqueness result is complemented by an associated logarithmic stability estimate under suitable apriori assumptions. Also uniqueness under finitely many \emph{generic} measurements is discussed. Here the genericity is obtained through \emph{singularity theory} which might also be interesting in the context of hybrid inverse problems. Combined with the results from \cite{GRSU18}, this yields a finite measurements constructive reconstruction algorithm for the fractional Calderón problem with drift. The inverse problem is formulated as a partial data type nonlocal problem and it is considered in any dimension $n\geq 1$.

研究の動機と目的

• 分数級シュレーディンガー方程式における漂い項およびポテンシャル係数の境界測定値からの逆問題を解くこと。
• 局所的状況に見られるゲージ不変性の障害を克服し、非局所的 Calderón 問題に漂い項を含む場合の同定性および安定性を確立すること。
• 特異性理論および Runge 近似を用いて、分数級 Calderón 問題に漂い項を含む場合の有限測定値再構成アルゴリズムを開発すること。
• 一般次元 $ n \geq 1 $、特に臨界ケース $ n=1 $ を含む、逆問題の適用範囲を拡張すること。
• 事前仮定のもとでの定量的安定性推定を提示し、同定性結果を補完すること。

提案手法

• 有界領域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^n $、$ n \geq 1 $ における部分データ非局所境界値問題として逆問題を定式化する。
• Runge 近似性質を用いて、所望の漸近的挙動を持つ解を構成し、Dirichlet-Neumann 写像の制御を可能にする。
• 境界データに基づいて解の差を制御する定量的逐次的連続性推定を確立する。
• Whitney の特異性理論を応用し、有限測定値において生じる行列式の一般性を分析し、一般測定セットが一意的回復をもたらすことを保証する。
• 高次近似技術と非ゼロ行列式の一般性を組み合わせることで、有限測定値再構成アルゴリズムを構築する。
• 係数の事前有界性のもとで、定量的逐次的連続性と Runge 近似性質を組み合わせ、対数的安定性推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数級シュレーディンガー方程式における漂い項およびポテンシャルは、無限個の外部測定値から一意に回復可能か？
• RQ2 非局所的設定ではゲージ不変性が欠如するため、局所的磁気シュレーディンガー方程式とは異なり、両方の係数を完全に同定可能か？
• RQ3 分数級 Calderón 問題に漂い項を含む場合、有限個の一般測定値から一意的回復が可能か？
• RQ4 係数の事前有界性のもとで逆問題の安定性はどのように定量化され、定量的対数的安定性推定を確立できるか？
• RQ5 特異性理論を用いて、一般測定セットが係数の同定を一意に保証するにはどうすればよいか？

主な発見

• 分数級 Calderón 問題に漂い項を含む場合、ゲージ不変性の障害がないため、外部測定値が無限個あれば、漂い項およびポテンシャルが一意に回復可能である。
• 非局所的設定ではゲージ不変性が欠如するため、局所的磁気シュレーディンガー方程式とは異なり、両方の係数を完全に同定可能である。
• 漂い項およびポテンシャルの事前有界性仮定のもとで、対数的安定性推定が確立され、逆問題の安定性が定量的に評価された。
• 特異性理論および Runge 近似を用いて、有限測定値再構成アルゴリズムが構築され、一般の有限測定セットが一意的回復に十分であることが示された。
• 測定設定における非ゼロ行列式の一般性が特異性理論により証明され、測定データの微小な摂動に対しても再構成が安定であることが保証された。
• 結果は任意の次元 $ n \geq 1 $ で有効であり、従来の $ n \geq 3 $ の設定を超えて、分数級 Calderón 問題の適用範囲が拡張された。