[論文レビュー] The Campbell--Magaard Theorem is inadequate and inappropriate as a protective theorem for relativistic field equations

Edward Anderson|ArXiv.org|Sep 30, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非コン pactなカユーザ＝クライン理論やブレーンワールドなど、高次元重力モデルにおける相対論的場の方程式の基礎的保護定理としてのキャンベル＝マガール定理（CM定理）の使用を疑問視している。著者は、位相的および局所性の条件を明確化した、洗練された共変的証明を提示するが、その核心的主張は、定理が解析関数に依存しており、因果構造や初期データへの連続的依存性を欠いているため、現代の相対論的物理学には根本的に不適切であると述べている。これにより、重要な応用が厳密な根拠を欠いたまま残っている。

ABSTRACT

Given a particular prescription for the Einstein field equations (EFE's), it is important to have general protective theorems that lend support to it. The prescription of data on a timelike hypersurface for the (n + 1)-d EFE's arises in `noncompact Kaluza--Klein theory', and in certain kinds of braneworlds and low-energy string theory. The Campbell--Magaard (CM) theorem, which asserts local existence (and, with extra conditions, uniqueness) of analytic embeddings of completely general n-d manifolds into vacuum (n + 1)-d manifolds, has often recently been invoked as a protective theorem for such prescriptions. But in this paper I argue that there are problems with loosening the CM thoerem of restrictive meanings in its statement, which is worthwhile thing to do in pursuit of the proposed applications. While I remedy some problems by identifying the required topology, delineating what `local' can be taken to mean, and offering a new, more robust and covariant proof, other problems remain unsurmountable. The theorem lends only inadequate support, both because it offers no guarantee of continuous dependence on the data and because it disregards causality. Furthermore, the theorem is only for the analytic functions which renders it inappropriate for the study of the relativistic equations of modern physics. Unfortunately, there are no known general theorems that offer adequate protection to the proposed applications' prescription. I conclude by making some suggestions for more modest progress.

研究の動機と目的

• 非コンパクトなカユーザ＝クライン理論やブレーンワールドなどのモデルにおける、高次元相対論的場の方程式に対するキャンベル＝マガール定理が、保護定理として適切かどうかを批判的に評価すること。
• CM定理の元来の定式化および証明における技術的欠陥、特に位相、局所性、共変性に関する問題を特定し、解決すること。
• 改良がなされたとしても、定理が解析関数に限定されていること、初期データへの連続的依存性が欠如していることから、根本的に不適切であることを示すこと。
• 初期値問題の適切な枠組みが欠如しているため、理論物理学における現代の応用が根拠を失っていることを主張すること。
• 高次元重力モデルにおけるブレーンワールドダイナミクスを厳密な数学的物理の枠組みで研究するための、より控えめで現実的な道筋を提案すること。

提案手法

• 埋め込みが正しく定義されるために必要な位相的条件を明示的に特定することで、CM定理を再定式化すること。
• 定理の記述における「局所的」という用語の意味を再解釈し、その有効範囲をグローバルまたは拡張された領域と区別すること。
• 座標依存の構成を避けることで幾何的明瞭性を高め、共変的で洗練された新しい証明を提示すること。
• CM定理の歴史的背景を、初期一般相対性理論の初期値問題に関する文献、特にダルモアスおよびフーレ＝ブリュアの研究にさかのぼること。
• CM定理の制限を、一般相対性理論で確立されたwell-posedな初期値問題フレームワークと比較し、連続的依存性と因果性の欠如を強調すること。
• 既存のブレーンワールドおよび高次元モデルの構築法を実際のところ評価し、CM定理ではなく、主にリヒネロヴィッチ＝ヨルクの共形法に依存していることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キャンベル＝マガール定理を、非コンパクトなカユーザ＝クライン理論やブレーンワールドモデルで用いられる初期データの規定を支持するように、厳密に再定式化できるか？
• RQ2 元来のCM定理が、現代物理学における相対論的場の方程式に対して十分な保護を提供できないのはなぜか？
• RQ3 因果性と初期データへの連続的依存性という観点から、CM定理の根本的限界は何か？
• RQ4 実際のブレーンワールドモデルの構築において、CM定理にどれほど依存しているのか。また、それとは対照的に、共形法などの他の手法がどのように使われているのか？
• RQ5 高次元重力モデルにおけるwell-posednessを確立するための、より現実的で代替可能な代替手段は存在するか？

主な発見

• キャンベル＝マガール定理は、解析的埋め込みにおいては局所的に有効であるが、初期データへの連続的依存性を保証しない。これは、一般相対性理論におけるwell-posedな初期値問題の主要な要件である。
• 定理は因果性を無視しており、相対論的場理論で不可欠な「依存領域構造」を考慮していない。
• 解析関数に限定されているため、現代の相対論的物理学が通常扱う滑らかさやソボレフ空間クラスの解とは不適切である。
• 著者が新たな共変的かつ位相的に明確化された証明を提示したとしても、その適用における根本的な基礎的問題は解決しない。
• 実際のブレーンワールドおよび高次元モデルの構築では、CM定理ではなく、主にリヒネロヴィッチ＝ヨルクの共形法が使われており、理論と応用の間には乖離が生じている。
• 1+1または2+0次元に簡略化された非常に対称的な場合、保護定理を確立することは可能であるが、これらは厳密に対称的モデルに限定されており、一般の力学的または一般的な状況には一般化できない。