[論文レビュー] The Cauchy Problem for Membranes

Olaf Milbredt|ArXiv.org|Jul 22, 2008

advanced mathematical theories参考文献 27被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、初期データの近傍に時間関数を備えたローレンツ多様体における時空的最小部分多様体（膜／p-brane）のコーシー問題について、短時間の存在および一意性を確立する。調和写像ゲージと擬線形双曲型還元を用い、任意の余次元の非コンパクトな初期部分多様体および光円錐に限りなく近いデータに対しても存在を示し、解の存在時間の下界を時空的曲線の長さに基づく幾何的下界として導出する。

ABSTRACT

We show existence and uniqueness for timelike minimal submanifolds (world volume of p-branes) in ambient Lorentz manifolds admitting a time function in a neighborhood of the initial submanifold. The initial value formulation introduced and the conditions imposed on the initial data are given in purely geometric terms. Only an initial direction must be prescribed in order to provide uniqueness for the geometric problem. The result covers non-compact initial submanifolds of any codimension. By considering the angle of the initial direction and vector fields normal to the initial submanifold with the unit normal to the foliation given by the time function we obtain a quantitative description of "distance" to the light cone. This description makes it possible to treat initial data which are arbitrarily close to the light cone. Imposing uniform assumptions give a lower bound for a notion of "time of existence" depending only on geometric quantities involving the length of timelike curves lying in the solution.

研究の動機と目的

• ローレンツ時空における膜（p-brane）としての時空的最小部分多様体の初期値問題を解くこと。
• 任意の余次元の非コンパクトな初期部分多様体の存在および一意性を確立すること。
• 因果構造の仮定を緩和し、光円錐に限りなく近い初期データを扱えるようにすること。
• 解の存在時間の下界を、解の部分多様体内に含まれる時空的曲線の長さに基づく幾何的量として導出すること。
• 問題および解を座標やゲージの選択に依存しない純粋な幾何的言語で定式化すること。

提案手法

• アインシュタイン方程式の技法に由来する調和写像ゲージを用い、膜方程式（平均曲率がゼロ）を擬線形双曲型方程式系に還元する。
• 初期部分多様体の近傍における時間関数を用いて幾何的ファイブレーションを定義し、因果構造を制御する。
• 初期部分多様体 φ と初期方向 ν を指定したパラメータ付き埋め込みを用いて局所解を構成する。
• 埋め込みの型（正則に埋め込まれた、局所的に埋め込まれた、または局所的有限交差を示す）に応じて局所解を貼り合わせ、グローバルな幾何的解を得る。
• 任意の解が調和ゲージに再パラメータ化可能であることを示し、微分同相不変性を用いて構成された解と比較することで一意性を証明する。
• 初期方向 ν と法ベクトル場を用いて、「光円錐への距離」の幾何的測度を定義し、定量的制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のローレンツ多様体において、非コンパクトな初期データを有する膜方程式について、短時間の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 グローバルな双曲的性やコンパクト性を仮定せず、光円錐に限りなく近い初期データをどのように扱えるか？
• RQ3 解の存在時間の下界を提供する幾何的量は何か？
• RQ4 初期値問題をパラメータ化やゲージに依存しない純粋な幾何的言語で定式化・解釈できるか？
• RQ5 初期データがグローバルに埋め込まれていない場合でも、初期部分多様体の近傍において解は一意的か？

主な発見

• 時間関数を初期データの近傍に備えたローレンツ多様体において、任意の余次元の非コンパクトで、正則に埋め込まれた、または局所的に埋め込まれた初期部分多様体について、存在および一意性が成立する。
• 存在時間の下界は、解の部分多様体内に含まれる時空的曲線の長さにのみ依存する幾何的量によって与えられる。
• 初期データが光円錐に限りなく近い場合でも解が存在し、これは時間関数ファイブレーションに対する初期方向と法ベクトル場のなす角度によって定量的に評価される。
• 滑らかな初期データは滑らかな解をもたらし、解は微分同相不変性により初期部分多様体の近傍において一意的である。
• 初期 lapse やシフトの選択に依存せず解が得られることから、幾何的問題のゲージ不変性が確認される。
• 本構成は、任意の環境次元および任意の時空次元（非コンパクトな世界体積を含む）に対して有効である。