[論文レビュー] The Cauchy Problem for Non-Isentropic compressible Navier-Stokes/Allen-Cahn system with Degenerate Heat-Conductivity

Yazhou Chen, Qiaolin He+2 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非等エントロピー圧縮性ナビエ＝ストークス／アレン＝コーン系の1次元初期値問題に対して、劣化熱伝導率 $\kappa(\theta) = \tilde{\kappa}\theta^{\beta}$ を持つ場合の、強解の全域的存在および一意性を確立する。エネルギー推定とソボレフ埋め込みを用いて、有限時間内に真空中や衝撃波、または相の不連続性が発生しないことを証明し、一般の初期 $H^1$ および $H^2$ データのもとで、相分離を伴わない滑らかな相転移が保証される。

ABSTRACT

The Cauchy problem for non-isentropic compressible Navier-Stokes/Allen-Cahn system with degenerate heat-conductivity $κ(θ)= ildeκθ^β$ in 1-d is discussed in this paper. This system is widely used to describe the motion of immiscible two-phase flow in numerical simulation. The wellposedness for strong solution of this problem is established with the $H^1$ initial data for density, temperature, velocity, and the $H^2$ initial data for phase field. The result shows that no discontinuity of the phase field, vacuum, shock wave, mass or heat concentration will be developed at any finite time in the whole space. From the hydrodynamic point of view, this means that no matter how complex the interaction between the hydrodynamic and phase-field effects, phase separation will not occur, but the phase transition is possible.

研究の動機と目的

• 1次元空間において、劣化熱伝導率を有する非等エントロピー圧縮性ナビエ＝ストークス／アレン＝コーン系の強解の全域的適切性を確立すること。
• 一般の初期データのもとで、解の長時間挙動を分析し、真空中や衝撃波、または相の不連続性の形成を回避すること。
• 温度依存の熱伝導率を有する圧縮性二相流の文脈において、相分離が発生しないことを厳密に裏付けること。

提案手法

• 理想多成分気体の状態方程式およびアレン＝コーン自由エネルギーを元のナビエ＝ストークス／アレン＝コーン方程式に代入することで、簡略化された系を導出する。
• 温度依存の熱輸送をモデル化するため、$\beta > 0$ を満たす $\kappa(\theta) = \tilde{\kappa}\theta^{\beta}$ を仮定する。
• 高階微分係数の制御のため、エネルギー推定とソボレフ埋め込み定理を適用する。
• グローワルの不等式と一様事前推定を用いて、局所解を時間全域に拡張する。
• 最大値原理を用いて、相場 $\phi$ が $-1$ から $1$ の間に有界であることを保証し、物理的整合性を確保する。
• $\rho$, $\mathbf{u}$, $\theta$ に対して $H^1$ 初期データ、$\phi$ に対して $H^2$ 初期データを仮定し、全域的解の存在に十分な正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 劣化熱伝導率を有する1次元非等エントロピー圧縮性ナビエ＝ストークス／アレン＝コーン系に対して、全域的強解が存在しうるか？
• RQ2 一般の初期データのもとで、真空中や衝撃波、または相の不連続性が形成されないか？
• RQ3 強い流体力学的相場フィールド結合が存在しても、このモデルでは相分離が禁止されるのか？
• RQ4 劣化熱伝導率 $\kappa(\theta) = \tilde{\kappa}\theta^{\beta}$ は、解の正則性および長時間挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 温度と速度が一様に有界である一方で、相場フィールド $\phi$ が $[-1,1]$ の範囲に保たれるか？

主な発見

• 密度、速度、温度に対して $H^1(\mathbb{R})$ 初期データ、相場フィールドに対して $H^2(\mathbb{R})$ 初期データを有する場合、任意の時間 $T > 0$ に対して全域的強解が存在する。
• 温度は上界および下界において一様に有界であり、$\sup_{(x,t) \in \mathbb{R} \times [0,T]} \theta \leq C$ を満たすため、熱的特異性が発生しない。
• 相場フィールド $\phi$ はすべての時間において $-1 \leq \phi \leq 1$ を満たし、物理的に不適切な相の値を避ける。
• $\theta_x$, $\theta_t$, $\theta_{xx}$ の一様有界性により、有限時間内に真空中や衝撃波、または質量・熱の集中が発生しないことが示された。
• 温度の $H^1$ ノルムおよびその時間微分・空間微分のノルムが時間にわたって一様に有界であり、$\sup_{0 \leq t \leq T} \int_{\mathbb{R}} \theta_x^2 dx + \int_0^T \int_{\mathbb{R}} (\theta_t^2 + \theta_{xx}^2) dx dt \leq C$ を満たす。
• 相分離は防止されるが、滑らかな相転移は可能であることが確認され、$\phi$ の有界性および相場フィールドにおける不連続性の不在によって裏付けられる。