[論文レビュー] The Cheeger Constant, Isoperimetric Problems, and Hyperbolic Surfaces

Brian Benson|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有限面積の双曲的曲面におけるCheeger最小化子（Cheeger定数を達成する部分集合）の存在および正則性のための条件を、等周論および幾何的分類を用いて確立する。Cheeger定数をトポロジー的・幾何的データから計算するためのアルゴリズムを提供し、Buserの不等式の定量的改善と照らし合わせてSelbergの固有値予想を検証する。その結果、既知の上限と整合的であることが示された。

ABSTRACT

We give a brief literature review of the isoperimetric problem and discuss its relationship with the Cheeger constant of Riemannian $n$-manifolds. For some non-compact, finite area 2-manifolds, we prove the existence and regularity of subsets whose isoperimetric ratio is equal to the Cheeger constant. To do this, we use results of Hass-Morgan for the isoperimetric problem of these manifolds. We also give an example of a finite area 2-manifold where no such subset exists. Using work of Adams-Morgan, we classify all such subsets of geometrically finite hyperbolic surfaces where such subsets always exist. From this, we provide an algorithm for finding these sets given information about the topology, length spectrum, and distances between the simple closed geodesics of the surface. Finding such a subset allows one to directly compute the Cheeger constant of the surface. As an application of this work suggested by Agol, we give a test for Selberg's eigenvalue conjecture. We do this by comparing a quantitative improvement of Buser's inequality resulting from works of both Agol and the author to an upper bound on the Cheeger constant of these surfaces, the latter given by Brooks-Zuk. As expected, our test does not contradict Selberg's conjecture.

研究の動機と目的

• 非コンパクトで有限面積のリーマン2次元多様体上で、Cheeger定数を達成する部分集合の存在および正則性の十分条件を確立すること。
• AdamsおよびMorganの等周問題に関する結果を用いて、幾何的に有限な双曲的曲面上のCheeger最小化子を分類すること。
• 長さスペクトルや測地線距離などのトポロジー的・幾何的不変量を用いて、このような曲面のCheeger定数を計算するためのアルゴリズムを開発すること。
• Cheeger定数の下限とBrooksおよびZukによる既知の上限を照らし合わせることで、Buserの不等式の定量的改善を用いてSelbergの固有値予想を検証すること。
• Selbergの予想を仮定したもとで、理論的下限と既知の上限との整合性が、合同商 $ S_k = \tilde{\rho}_k \backslash \mathbb{H}^2 $ のCheeger定数に対して確認されること。

提案手法

• 境界が一様に有界なCheeger列の存在を用いて、有限面積曲面上の2次元Cheeger最小化子の存在を証明する。
• HassおよびMorganの非コンパクトで有限面積の曲面上の等周問題に関する結果を応用し、最小化子が一定曲率の埋め込まれたマルチ曲線として正則であることを確立する。
• AdamsおよびMorganによる幾何的に有限な双曲的曲面上の等周解の完全な分類を活用し、特定の幾何的形を持つ「良いCheeger候補」（候補最小化子）を同定する。
• AgolによるBuserの不等式の定量的改善から導かれるSturm-Liouville固有値形式を用いて、Cheeger定数とスペクトルデータを関連付ける。
• SLEIGN2数値ソルバーを用い、固有値関数の単調性を仮定したもとで、関連する常微分方程式の初期値問題を解くことで、Cheeger定数の下限を計算する。
• 単純閉測地線間の長さスペクトルおよび対間距離を入力として用いるアルゴリズムを構築し、Cheeger最小化子を同定および計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限面積で非コンパクトなリーマン2次元多様体がCheeger最小化子をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 幾何的に有限な双曲的曲面上のCheeger最小化子の完全な分類は何か？
• RQ3 幾何的に有限な双曲的曲面のCheeger定数は、その幾何的およびトポロジカル不変量からアルゴリズム的に計算可能か？
• RQ4 Buserの不等式の定量的改善は、既知のCheeger定数の上限とどのように作用し、Selbergの固有値予想の検証に寄与するか？
• RQ5 合同商 $ \tilde{\rho}_k \backslash \mathbb{H}^2 $ のCheeger定数に対して、Selbergの予想を支持する一貫した下限が存在するか？

主な発見

• 境界が一様に有界なCheeger列をもつ有限面積曲面上では、2次元Cheeger最小化子が存在し、その境界は一定曲率の埋め込まれたマルチ曲線である。
• 幾何的に有限な双曲的曲面上では、正の長さをもつ1次元Cheeger最小化子が常に存在し、これは分類における「良いCheeger候補」の境界である。
• 幾何的に有限な双曲的曲面のCheeger定数は、長さスペクトルおよび単純閉測地線間の距離を用いてアルゴリズム的に計算可能である。
• Selbergの予想を仮定すると、$ S_k = \tilde{\rho}_k \backslash \mathbb{H}^2 $ のCheeger定数の下限は $ 0.205436\ldots $ を超過し、Brooks-Zukの上限 $ 0.4402 $ と整合的である。
• KimおよびSarnakの下限 $ \lambda_1 \geq 975/4096 $ を用い、$ h(S_k) > 0.198727\ldots $ の下限を計算したが、これは既知の上限と整合的である。
• 解析により、Cheeger最小化子をもつ曲面にBuserの不等式の定量的改善を適用した場合、Selbergの予想と整合する結果が得られることを確認した。