[論文レビュー] The Chern character for Lie algebroids

Helge Øystein Maakestad|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、Lie代数ダルのK理論からそのLie-RinehartコホモロジーへのChern特徴写像を構成し、代数的K理論における古典的Chern特徴の一般化を行う。任意の特徴値0のk代数A上の(k, A)-Lie代数ダルℊに対してch: K₀(ℊ) → H∗(ℊ, A)を確立することで、de Rhamの古典的Chern特徴を特別な場合として回復し、一般化された微分幾何学におけるK理論的不変量とコホモロジー的不変量を統一する。

ABSTRACT

Abstract. We construct a Chern character for the situation ch: K0(g)→H ∗ (g, A) where g is any (k, A)-Lie algebroid, A is any k-algebra of characteristic zero and H ∗ (g, A) is the Lie-Rinehart cohomology of g. As a corollary we prove existence of the classical Chern character ch: K0(A)→H ∗ DR (A), where K0(A) is the K-theory of A and H ∗ DR (A) is the algebraic deRham cohomology.

研究の動機と目的

• 代数的K理論における古典的Chern特徴をLie代数ダルの文脈へ拡張すること。
• 任意の特徴値0のk代数A上の(k, A)-Lie代数ダルℊに対して、Chern特徴写像ch: K₀(ℊ) → H∗(ℊ, A)を定義すること。
• 一般化された微分幾何学におけるK理論的不変量とLie-Rinehartコホモロジーを統一すること。
• 新しい構成の特別な場合として、古典的代数的de Rham Chern特徴を回復すること。

提案手法

• Chern特徴のターゲットコホモロジー理論としてLie-RinehartコホモロジーH∗(ℊ, A)を用いる。
• 代数的K理論とLie代数ダル構造を用いて、K₀(ℊ)からH∗(ℊ, A)への自然変換を構成する。
• K理論およびコホモロジー代数の標準的技法を用いて、この一般化された設定におけるChern特徴を定義する。
• 標準的Chern類の構成と整合性を保つために、Aの特徴値0の仮定を活用する。
• K₀の普遍性を用いて、ベクトル束からK理論類へChern特徴を拡張する。
• de Rhamコホモロジーの場合を含む、既知のChern特徴の特別な場合と整合することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的Chern特徴をどのようにLie代数ダルの文脈に一般化できるか？
• RQ2 Lie代数ダルの文脈において、Chern特徴の自然なターゲットとなるコホモロジー理論は何か？
• RQ3 Lie代数ダルに対するChern特徴の構成は、古典的代数的de Rham Chern特徴を回復するか？
• RQ4 このような特徴が存在するためには、Lie代数ダルとその基底代数が満たすべき構造的性質は何か？
• RQ5 微分形式に依存せずに、Lie-Rinehartコホモロジーを用いてChern特徴を内在的に定義できるか？

主な発見

• 特徴値0のk代数A上の任意の(k, A)-Lie代数ダルℊに対して、well-definedなChern特徴写像ch: K₀(ℊ) → H∗(ℊ, A)が構成された。
• この構成は、K₀(A)からH∗_DR(A)への古典的Chern特徴を一般化し、de RhamのChern特徴を特別な場合として回復する。
• Chern特徴は、Lie代数ダルのA係数のLie-Rinehartコホモロジーに倣う。
• 写像はLie代数ダルの準同型に関して自然であり、K理論的構造を保つ。
• Aの特徴値0の仮定は、標準的Chern類理論と整合させるために不可欠である。
• この結果は、一般化された微分幾何学における代数的K理論とコホモロジー的不変量の深い結びつきを確立する。