[論文レビュー] The class of languages recognizable by 1-way quantum finite automata is not closed under union

Māris Valdats|ArXiv.org|Jan 4, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1-way量子有限オートマトン（1QFA）によって認識可能な言語のクラスが、ユニオン（和集合）に対して閉じていないことを示している。特に、基本的なブール演算に対しても同様である。構築された言語 L1 = a*bb*a(b*ab*a)b* + a* を用いて、構造的および線形代数的解析により、状態到達可能性と受容確率の制約が両立不能であるため、いかなる1QFAでもL1を認識できないことを証明している。L1は正則であるにもかかわらずである。主な貢献は、1QFAに根本的な制限が存在することを示したことである：それらは認識可能な言語の任意の和集合を処理できない。これは古典的有限オートマトンとは異なり、ある種の制限を受ける。

ABSTRACT

In this paper we develop little further the theory of quantum finite automata (QFA). There are already few properties of QFA known, that deterministic and probabilistic finite automata do not have e.g. they cannot recognize all regular languages. In this paper we show, that class of languages recognizable by QFA is not closed under union, even not under any Boolean operation, where both arguments are significant.

研究の動機と目的

• 1-way量子有限オートマトン（1QFA）によって認識可能な言語の閉包性を調査すること。
• 1QFAによって認識可能な言語のクラスが、特にユニオンに関してブール演算に対して閉じているかどうかを特定すること。
• 既知の非認識可能性基準を満たすが、定理1.2の条件5を満たさない特定の正則言語L1 = a*bb*a(b*ab*a)b* + a* を構築し、それがいかなる1QFAでも認識できないことを示すこと。
• ユニオンに対する閉包性の失敗が、量子状態の進化と測定確率の内在的構造的制限に起因することを示すこと。

提案手法

• 1QFAを、ユニタリな遷移写像と停止状態における射影測定に基づく、(Q; Σ; V; q0; Qacc; Qrej) というタプルとして定義する。
• 入力語の読込後の重ね合わせの進化を追跡するため、非停止状態の進化作用素 V′_w = V′_an...V′_a1 を用いる。
• 状態空間を E1（停止状態）と E2（非停止状態）に分解し、非停止成分の振る舞いに注目する。
• 長い入力語により、非停止成分のノルムを任意に小さくできると示し、E2における到達可能性が稠密であることを示す。
• 受容確率関数 pw と A(ψ) を定義し、到達可能な状態を R1（受容）、R2（曖昧）、R3（拒否）の領域に分割する。
• 変換の連続性とユニタリティを用いて、E1における到達可能性が対称的かつ推移的であり、同値関係を形成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1-way量子有限オートマトンによって認識可能な言語のクラスは、ユニオンに関して閉じているか？
• RQ2 L1 = a*bb*a(b*ab*a)b* + a* という正則言語は、1QFAによって認識可能か？ これは多くの既知の非認識可能性条件を満たすが、定理1.2の条件5（逆語の存在）を満たさない。
• RQ3 どのような構造的または確率的制約が、正則であるにもかかわらず1QFAが特定の正則言語を認識できない原因となっているか？
• RQ4 ユニオンに対する閉包性の失敗は、状態到達可能性の制限か、受容確率制御の制限に起因しているか？

主な発見

• 言語 L1 = a*bb*a(b*ab*a)b* + a* は、いかなる1-way量子有限オートマトンでも認識できない。
• L1の非認識性は、定理1.2の条件5（逆語の存在）に起因するのではなく、状態到達可能性と受容確率のバランスに生じるより深い構造的矛盾に起因する。
• 1QFAによって認識可能な言語のクラスは、非自明で重要な言語に対してもユニオンに関して閉じていない。
• 証明は、曖昧受容状態の集合 R2 が空でなければならないことを示し、これにより「a」や「b」の読み込みが受容確率領域に与える影響を分析した際、矛盾が生じることに依拠している。
• 解析により、bw と bwa（または abw と abwa）のような語の間の受容確率の差を、いかなる1QFA設計でも一致させることができないことが判明し、少なくとも2εの確率ギャップを満たす必要があるという要件を満たさない。
• この結果により、根本的な制限が示された：1QFAはすべての正則言語を認識できないし、その閉包性は古典的有限オートマトンほど強くない。