[論文レビュー] The class of the affine line is a zero divisor in the Grothendieck ring: via $G_2$-Grassmannians

Atsushi Ito, Makoto Miura+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、特徴が0の代数閉体上での多様体のグロチェンドィック環において、アフィン直線の類 $ L = [ℝ^1] $ がゼロ因子であることを示している。$ G_2 $-グラスマンニアンから構成された一対のカバリ・ヤウ3次元多様体 $ X $ と $ Y $ を用いて、$ ([X] - [Y]) \cdot L = 0 $ かつ $ [X] \neq [Y] $ を示しており、これは以前のパフィアン・グラスマンニアン対に関する結果よりも強い結果である。主な洞察は、$ D = Z(s) $ を $ F_1 $ における $ X $ に沿った吹き上げとして実現することに起因し、グロチェンドィック環における幾何的恒等式が得られる。

ABSTRACT

Motivated by [Bor] and [Mar], we show the equality $\left([X] - [Y] ight) \cdot [\mathbb{A}^1] = 0$ in the Grothendieck ring of varieties, where $(X, Y)$ is a pair of Calabi-Yau 3-folds cut out from the pair of Grassmannians of type $G_2$.

研究の動機と目的

• 特徴が0の体上の多様体のグロチェンドィック環において、アフィン直線の類 $ L $ がゼロ因子であることを確立すること。
• $ G_2 $-グラスマンニアンから得られる非同型のカバリ・ヤウ3次元多様体 $ X $ と $ Y $ の一対を構成することで、このようなゼロ因子関係の新たな、より強い例を提供すること。
• $ ([X] - [Y]) \cdot L = 0 $ かつ $ [X] \neq [Y] $ を示し、グロチェンドィック環の構造に関する予想の弱体化版に対する反例を提示すること。

提案手法

• 6次元の同調的空間である $ G_2 $ 群の旗多様体 $ F_{12} = G/B $ を構成し、$ F_1 = G/P_1 $ および $ F_2 = G/P_2 $ の両方の $ \mathbb{P}^1 $-バンドル構造を持つ（両方とも5次元）。
• 一般な全空間切断 $ s \in H^0(F_{12}, E(1,1)) $ を定義し、$ D = Z(s) $、$ X = Z(p_1^*s) \subset F_1 $、$ Y = Z(p_2^*s) \subset F_2 $ を定める。一般性によりこれらはすべて滑らかである。
• 正則切断 $ s_1 = p_1^*s $ に関連する完全系列を用いて、制限 $ \pi_1: D \to F_1 $ が $ F_1 $ を $ X $ に沿って吹き上げていることを証明する。同様に $ \pi_2 $ に対しても成り立つ。
• 吹き上げ構造を用いて、グロチェンドィック環における恒等式 $ [D] = [F_1] + L \cdot [X] $ および双対的に $ [D] = [F_2] + L \cdot [Y] $ を導出する。
• Weyl群のコセット $ W^{P_1} $ と $ W^{P_2} $ 間の長さを保つ双対写像を用いて $ [F_1] = [F_2] $ を確立し、$ [F_1] = [F_2] = 1 + L + L^2 + L^3 + L^4 + L^5 $ が成り立つことを示す。
• 二つの $ [D] $ の表現を等置することで $ ([X] - [Y]) \cdot L = 0 $ を結論づけ、安定双有理性とMRCファイブレーションの一意性を用いて $ [X] \neq [Y] $ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴が0の体上の多様体のグロチェンドィック環において、アフィン直線の類 $ L $ はゼロ因子か？
• RQ2 非双有理的であるカバリ・ヤウ3次元多様体の対 $ X $ と $ Y $ が $ ([X] - [Y]) \cdot L = 0 $ を満たすことは可能か？
• RQ3 $ G_2 $-グラスマンニアンの構成は、$ \alpha \cdot L^2 = 0 $ ならば $ \alpha \in \langle L \rangle $ であると主張する予想1.2の反例をもたらすか？
• RQ4 $ G_2 $-同調的空間におけるゼロ軌跡として構成された多様体 $ X $ と $ Y $ は、安定双有理的か？
• RQ5 グロチェンドィック環における吹き上げ構造を通じて、関係 $ ([X] - [Y]) \cdot L = 0 $ を幾何的に確立できるか？

主な発見

• アフィン直線の類 $ L $ は、グロチェンドィック環 $ K_0(V/k) $ においてゼロ因子であることが、カバリ・ヤウ3次元多様体の対 $ X $ と $ Y $ に対して $ ([X] - [Y]) \cdot L = 0 $ が成り立つことによって示された。
• 対 $ (X, Y) $ は、同型でもなく、双有理的でもない、ピカール数1のカバリ・ヤウ3次元多様体から成り、したがって $ [X] \neq [Y] $ である。
• グロチェンドィック環において、$ D $ を一般切断のゼロ軌跡とし、$ \pi_1: D \to F_1 $ が $ X $ に沿った吹き上げであるならば、恒等式 $ [D] = [F_1] + L \cdot [X] $ が成り立つ。
• 同様に $ [D] = [F_2] + L \cdot [Y] $ が成り立ち、$ [F_1] = [F_2] $ であるから、$ ([X] - [Y]) \cdot L = 0 $ が導かれる。
• 対 $ (X, Y) $ は、$ d \geq 4 $ に対して予想1.2の反例を提供する。$ \alpha = [X] - [Y] $ は $ \alpha \cdot L^2 = 0 $ を満たすが、$ \alpha \notin \langle L \rangle $ である。
• この結果は、$ G_2 $-グラスマンニアンを用いた構成によって、パフィアン・グラスマンニアン対の退化が得られることから、この文脈における以前の結果よりも強いものである。