[論文レビュー] The classification of $p$-divisible groups over 2-adic discrete valuation rings

Wausu Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Frobenius加群を用いた $\mathfrak{S} = W(k)[[u]]$ 上の理論を用いて、2進離散付値環上の $p$-可除群および $p$-冪位数の有限平坦群スキームの分類に関するBreuilの予想を証明する。これはクリスタリン・デュドネ理論およびガロア表現と整合する完全な反同値関手を確立し、連結性の仮定なしにKisin理論を $p=2$ の場合に拡張する。この結果は、算術幾何学および群スキームのモジュライの基礎的道具を提供する。

ABSTRACT

Let $\mathscr{O}_K$ be a 2-adic discrete valuation ring with perfect residue field $k$. We classify $p$-divisible groups and $p$-power order finite flat group schemes over $\mathscr{O}_K$ in terms of certain Frobenius module over $\mathfrak{S}:=W(k)[[u]]$. We also show the compatibility with crystalline Dieudonné theory and associated Galois representations. Our approach differs from Lau's generalization of display theory, and we additionally obtain the the compatibility with associated Galois representations.

研究の動機と目的

• 2次元離散付値環に値をとる $p$-可除群および有限平坦群スキームの分類に関するBreuilの予想を、完全な残渣体を持つ場合に証明すること。
• これらの群スキームと $\mathfrak{S} = W(k)[[u]]$ 上の特定のFrobenius加群の間の完全な反同値関手を確立すること。
• 分類がクリスタリン・デュドネ理論および関連するガロア表現と整合することを示すこと。
• 群スキームに連結性の仮定を課さずにKisin理論を $p=2$ の場合に拡張すること。
• アーベル型シムーラ多様体および有限平坦群スキームのモジュライ空間の整数的モデルを構成するための枠組みを提供すること。

提案手法

• Kisin理論およびFrobenius準同型 $\varphi(u) = u^p$ を持つ環 $\mathfrak{S} = W(k)[[u]]$ の使用。
• Frobenius加群から $\mathbb{Z}_p$-加群への反変関手 $T^*_{\mathfrak{S}}$ の構成、$\boldsymbol{\mathcal{G}}_{K_\infty}$-作用を伴う。
• $p$-可除群および有限平坦群スキームをパラメトライズするためのカテゴリ $\underline{\operatorname{Mod}}_{\mathfrak{S}}(\varphi)^{\leqslant 1}$ および $(\operatorname{Mod}/\mathfrak{S})^{\leqslant 1}$ の定義。
• 特殊ファイバーのデュドネ加群との比較を用いた、$u$ を法としての還元による分類関手の完全性の証明。
• エタール $\varphi$-加群および $\mathscr{O}_{\mathcal{E}}$-基底変換を用いて、一般ファイバーの性質と写像の全射性を分析する。
• 普遍性およびスキーム論的像を用いて、$\mathfrak{S}$-加群の写像の全射性が群スキームの閉埋め込みを意味することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元離散付値環上の $p$-可除群および有限平坦群スキームの分類に関するBreuilの予想は、連結性の仮定なしに成り立つか？
• RQ2 $p=2$ の場合に、分類がクリスタリン・デュドネ理論およびガロア表現と整合するか？
• RQ3 群スキーム $G$ に対して $\mathfrak{M}_G$ を割り当てる関手が、$\boldsymbol{\mathcal{G}}_{K_\infty}$-表現に制限したとき完全かつ忠実であるか？
• RQ4 Frobenius作用を持つ $\mathfrak{S}$-加群の構造は、$\mathscr{O}_K$ 上の群スキーム構造をどのように反映するか？
• RQ5 群スキームの完全性は、対応する $\mathfrak{S}$-加群の完全性によって検出可能か？

主な発見

• 本稿は、$\mathscr{O}_K$ 上の $p$-可除群とカテゴリ $\underline{\operatorname{Mod}}_{\mathfrak{S}}(\varphi)^{\leqslant 1}$ 間の完全な反同値関手を確立し、$p=2$ におけるBreuilの予想を証明する。
• 群スキーム $G$ の反変デュドネ水晶 $\mathbb{D}^*(G)$ は、対応する $\mathfrak{S}$-加群 $\mathfrak{M}_G$ から回復可能である。
• 自然な $\boldsymbol{\mathcal{G}}_{K_\infty}$--equivariant 同型 $T_p(G) \cong T^*_{\mathfrak{S}}(\mathfrak{M}_G)$ が存在し、ガロア表現と整合することが保証される。
• 有限平坦群スキーム $H$ に対して、$\mathfrak{S}$-加群 $\mathfrak{M_H}$ は $\mathbb{D}^*(H)$ を回復し、$H(\overline{K}) \cong T^*_{\mathfrak{S}}(\mathfrak{M}_H)$ が $\boldsymbol{\mathcal{G}}_{K_\infty}$-加群として成り立つ。
• 群スキームの完全性は、対応する $\mathfrak{S}$-加群の完全性と同値であり、$\mathscr{O}_{\mathcal{E}}$-基底変換およびエタール $\varphi$-加群理論を用いた主要なステップに依存する。
• $\mathfrak{S}$-加群の写像 $\mathfrak{M} \twoheadrightarrow \mathfrak{M}'$ の全射性は、対応する群スキームの写像が閉埋め込みであることを意味し、完全性基準の逆を証明する。