[論文レビュー] The cohomology of lattices in SL(2,C)

Tobias Finis, Fritz Grunewald+1 more|ArXiv.org|Aug 8, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 50被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、SL(2,ℂ) 内の格子のコホモロジーを調査し、対称テンソル表現 Eₙ = Symⁿ ⊗ Sym̄ⁿ に対する H¹(Γ, Eₙ) の次元の振る舞いに焦点を当てる。理論的分析と広範な計算を用いて、固定された格子に対して O(n²/log n) の上界を確立し、基本拡大を用いた線形下界を SL(2,𝒪) に対して証明し、2つの場合で非上昇コホモロジー類を発見した。また、ヘリングの群やクリメンコの例、およびコンパクトな正四面体群を含む非算術的群のコホモロジーを計算した。

ABSTRACT

This paper contains both theoretical results and experimental data on the behavior of the dimensions of the cohomology spaces H^1(G,E_n), where Gamma is a lattice in SL(2,C) and E_n is one of the standard self-dual modules. In the case Gamma = SL(2,O) for the ring of integers O in an imaginary quadratic number field, we make the theory of lifting explicit and obtain lower bounds linear in n. We have accumulated a large amount of experimental data in this case, as well as for some geometrically constructed and mostly non-arithmetic groups. The computations for SL(2,O) lead us to discover two instances with non-lifted classes in the cohomology. We also derive an upper bound of size O(n^2 / log n) for any fixed lattice Gamma in the general case. We discuss a number of new questions and conjectures suggested by our results and our experimental data.

研究の動機と目的

• SL(2,ℂ) 内の格子 Γ と対称テンソル表現 Eₙ に対するコホモロジー空間 H¹(Γ, Eₙ) の次元の振る舞いを理解すること。
• 固定された格子に対して、n に関する dim H¹(Γ, Eₙ) の増加度に対する理論的境界を確立すること。
• 算術的格子（例：虚二次整数の SL(2,𝒪)）および非算術的群に対して、コホモロジー次元を明示的に計算すること。
• ビアンチ群やその他の非算術的格子のコホモロジーに非上昇クラスが存在するかを調査すること。
• 非上昇クラスにおけるヘッケ作用素の役割を調査し、非自明な算術的構造を有するコホモロジーの新しい例を特定すること。

提案手法

• 基本拡大とアイヘラー＝シュムール同型を用いた理論的分析により、コホモロジーを自動形式およびヘッケ作用素と関連付ける。
• SL(2,ℂ) に対する不変トレース公式の応用により、dim H¹(Γ, Eₙ) の上界を導出する。
• 有限生成群に対する群コホモロジー技法を用いた明示的計算により、コホモロジー次元を計算する。
• モジュラー記号とアルゴリズム的手法を用いて、コホモロジー類におけるヘッケ固有値を計算する。
• 非算術的群（例：ヘリングの群やクリメンコの群）に対して、提示と行列表現を用いて、低次のコホモロジーを計算する。
• 合同部分群およびコンパクトでない格子内の有限指数部分群に対して、コホモロジーを体系的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された格子 Γ ⊂ SL(2,ℂ) に対して、n が増加する際の dim H¹(Γ, Eₙ) の漸近的増加率は何か？
• RQ2 ビアンチ群のコホモロジーに非上昇クラスが存在するか。存在する場合、どのようにして検出され、計算されるか？
• RQ3 ヘリングの群やクリメンコの例のような非算術的格子 Γ に対して、H¹(Γ, Eₙ) の正確な次元は何か？
• RQ4 ヘッケ作用素は非上昇コホモロジー類にどのように作用するか。これにより、それらの算術的性質に何が示唆されるか？
• RQ5 コンパクトな非算術的格子、例えば正四面体反射群 Γ₂₆ のコホモロジーは何か？

主な発見

• SL(2,𝒪₋₇) のビアンチ群に対して、H¹(Γ, E₁₂) に非上昇コホモロジー類が存在し、次元は 6 であり、期待される上昇寄与を上回っている。
• SL(2,𝒪₋₁₁) に対して、H¹(Γ, E₁₀) に非上昇クラスが検出され、次元は 6 であり、再び上昇成分を上回っている。
• m ≥ 3 に対するヘリングの非算術的群 Θₘ に対して、3 ≤ m ≤ 150 および 1 ≤ n ≤ 30 の範囲で H¹(Γ, Eₙ) の次元は 1 であり、この範囲に補積分コホモロジーは存在しない。
• コンパクトな正四面体群 Γ₂₆ に対して、すべての 0 ≤ n ≤ 90 に対して H¹(Γ₂₆, Eₙ) = 0 であり、この範囲でコホモロジーは自明である。
• Γ₂₆ の指数 ≤24 の部分群のうち、191 個は 0 ≤ n ≤ 10 に対して H¹(Γ, Eₙ) が自明であり、30 個は次元が 1、1 個は次元が 2 である。
• 任意の固定された格子 Γ ⊂ SL(2,ℂ) に対して、dim H¹(Γ, Eₙ) の上界として O(n²/log n) を確立し、以前の推定を改善した。