[論文レビュー] The combinatorial cost

Gábor Elek|ArXiv.org|Aug 18, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、次数が一様に有界な有限グラフ列に対して、測度的同値関係不変量であるコストとβ不変量の組合せ的類似物を導入する。大径路グラフ列において、コストはエッジ密度の極限に等しくなり、これらの不変量が残留有限群におけるランク勾配とmod pホモロジー勾配と関係することを示し、Cayleyグラフ列の超有限性がその基盤群のアメニタリティを特徴付けることを証明する。

ABSTRACT

We study the combinatorial analogues of the classical invariants of measurable equivalence relations. We introduce the notion of cost and $β$-invariants (the analogue of the first $L^2$-Betti number introduced by Gaboriau) for sequences of finite graphs with uniformly bounded vertex degrees and examine the relation of these invariants and the rank gradient resp. mod $p$ homology gradient invariants introduced by Lackenby for residually finite groups.

研究の動機と目的

• 次数が一様に有界な有限グラフ列に対する、測度的同値関係不変量であるコストとβ不変量の組合せ的類似物を定義し、それらを研究すること。
• これらのグラフ不変量と、ランク勾配やmod pホモロジー勾配などの残留有限群の古典的不変量との関係を確立すること。
• グラフ列における超有限性の概念を導入し、測度的同値関係理論と類似する点を分析すること。
• 大径路グラフ列のコストがエッジ密度の極限に等しいことを証明し、ガボリアウの定理を組合せ的設定に拡張すること。
• 有限生成残留有限群のアメニタリティを、関連するCayleyグラフ列の超有限性によって特徴付けること。

提案手法

• 頂点次数が一様に有界なグラフ列を定義し、エッジ密度の極限 $ e(\text{cal G}) $ を $ \liminf_{n\to\infty} \frac{|E(G_n)|}{|V(G_n)|} $ として定義する。
• コスト $ c(\text{cal G}) $ を、$ \text{cal G} $ と同値なすべてのグラフ列 $ \text{cal H} $ における $ e(\text{cal H}) $ の下界の下限として定義する。ここで、同値とは、距離が互いに準等長であることである。
• $ \beta_K $-不変量を $ \inf_q \liminf_{n\to\infty} \frac{|E(G_n)| - \dim_K C_K^q(G_n)}{|V(G_n)|} - 1 $ として定義し、非短いサイクルの漸近的密度を測定する。
• サイクル空間次元 $ \dim_K C_K^q(G_n) $ を用いて、短いサイクルに属さない辺の割合を定量化し、これと $ \beta_K $-不変量を関連付ける。
• $ \beta_K(\text{cal G}) + 1 \leq c(\text{cal G}) $ を示し、コストが $ \beta $-不変量を上から抑えることを証明する。
• グラフ列の超有限性がコスト1を意味することを証明し、任意のグラフ列が超有限な同値な列をもつことを示す。これにはネットに基づく分解とスパニングツリーを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数が有界なグラフ列に対する組合せ的コストと $ \beta $-不変量は、測度的同値関係の古典的不変量とどのように関係するか？
• RQ2 大径路グラフ列のコストとそのエッジ密度の極限の関係は何か？
• RQ3 グラフ列の $ \beta $-不変量は、残留有限群のランク勾配とmod pホモロジー勾配とどのように関係するか？
• RQ4 グラフ列の超有限性は、その基盤群の群論的性質によって特徴付けられるか？
• RQ5 グラフ列のコストがエッジ密度の極限に等しくなるのはどのような条件下か？

主な発見

• 任意の大径路グラフ列 $ \text{cal G} $ に対して、コストは $ c(\text{cal G}) = e(\text{cal G}) $ を満たす。これはガボリアウの定理を組合せ的設定に拡張する。
• $ \beta_K $-不変量は $ \beta_K(\text{cal G}) + 1 \leq c(\text{cal G}) $ を満たし、コストが $ \beta $-不変量を上から抑えることを示す。
• 有限生成で残留有限な群 $ \Gamma $ に対して、第一 $ L^2 $-ベッチ数は $ \beta^{1}_{(2)}(\Gamma) = \beta_{\mathbb{Q}}(\text{cal G}) \leq \text{mod } p\text{-ホモロジー勾配} \leq c(\text{cal G}) - 1 $ を満たし、群不変量とグラフ列を結びつける。
• 任意のグラフ列は超有限な同値な列をもつ。また、超有限性はコスト1を意味する。これは測度的同値関係理論からの結果を一般化する。
• 有限生成残留有限群の関連するCayleyグラフ列が超有限であることは、その群がアメニタリであることに同値である。これはコンネス＝フェルドマン＝ウエイスの定理の組合せ的類似を証明する。