[論文レビュー] The compactness result for Kähler Ricci solitons

Huai-Dong Cao, Nataša Šešum|ArXiv.org|Apr 26, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ n \geq 4 $ の実次元におけるコンパactsなKähler-Ricciソリトンの列に対して、曲率の $ L^{n/2} $-ノルムの均一な有界性、リッチ曲率の下からの有界性、およびPerelmanの $ \mu $-汎関数の有界性の下で、コンパクトネス定理を確立する。このようにして得られる列は、部分列として収束し、その極限は孤立特異点を有限個持つ軌道多様体上のコンパクトなKähler-Ricciソリトンとなる。特異点の近傍では局所的ゲージにおいて計量が滑らかに拡張され、これはEinstein計量に対するAnderson-Tian型コンパクトネスの結果をソリトン設定に一般化するものである。

ABSTRACT

In this paper we prove the compactness result for compact Kähler Ricci gradient shrinking solitons. If $(M_i,g_i)$ is a sequence of Kähler Ricci solitons of real dimension $n \ge 4$, whose curvatures have uniformly bounded $L^{n/2}$ norms, whose Ricci curvatures are uniformly bounded from below and $μ(g_i,1/2) \ge A$ (where $μ$ is Perelman's functional), there is a subsequence $(M_i,g_i)$ converging to a compact orbifold $(M_{\infty},g_{\infty})$ with finitely many isolated singularitites, where $g_{\infty}$ is a Kähler Ricci soliton metric in an orbifold sense (satisfies a soliton equation away from singular points and smoothly extends in some gauge to a metric satisfying Kähler Ricci soliton equation in a lifting around singular points).

研究の動機と目的

• 既知のKähler-Einstein計量に関する結果に類似した、コンパクトなKähler-Ricciソリトンの列に対するコンパクトネス結果を確立すること。
• リッチフローのスケーリング極限における特異点の問題に対処し、特異点が制御されたものである軌道計量への収束を証明すること。
• 勾配Kähler-Ricciソリトンの非Einsteinの場合に、Anderson-Tianのコンパクトネス枠組みを拡張すること。
• 特異点における曲率の発散を、ゲージ理論的および幾何的解析的手法を用いて技術的に扱うこと。
• 次元 $ n \geq 6 $ と $ n = 4 $ の場合を統一的に扱い、後者ではガウス・ボナケの公式により異なる手法を要する点を考慮すること。

提案手法

• Kähler-Ricciソリトンに適した $ \epsilon $-正則性補題を用い、$ L^{n/2} $-ノルムの有界性から局所的曲率を制御する。
• $ n > 4 $ の場合にSibnerのYang-Mills方程式の方法を適用し、$ n = 4 $ の場合にUhlenbeck-Tianの技法を用いることで特異点を扱う。
• 各軌道的特異点の近傍に局所的ゲージを構成し、その引き戻し計量が $ \mathbb{C}^{n/2} $ 上の $ C^\infty $ Kähler-Ricciソリトンに滑らかに拡張されることを保証する。
• 曲率の減衰推定における発散項を推定するために、Ricciソリトン方程式 $ g_{i\bar{j}} - R_{i\bar{j}} = \partial\bar{\partial}u $ を用いる。
• 重み付き $ L^2 $-推定および接続形式とBianchi恒等式を用いた曲率の減衰制御を行う。
• 特異点近傍で曲率が $ r(x)^{-\delta} $ のオーダーでしか増大しないことを証明し、軌道多様体の性質を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率の $ L^{n/2} $-ノルム、リッチ曲率の下限、および $ \mu $-汎関数が一様に有界なコンパクトKähler-Ricciソリトンの列は、制御された特異点を持つ極限計量空間に収束するか？
• RQ2 このような列の極限は、孤立特異点を持つ軌道多様体上のKähler-Ricciソリトンとしての構造を持つか？
• RQ3 極限における特異点はどのように生じるのか？ また、$ \mathbb{C}^{n/2} $ 上の滑らかな計量へのゲージ理論的上昇により、それらを解消できるか？
• RQ4 Perelmanの $ \mu $-汎関数は、極限における退化を防ぐ役割を果たすか？
• RQ5 特異点近傍での曲率の減衰はどのように振る舞い、定量的に記述できるか？

主な発見

• 曲率の $ L^{n/2} $-ノルム、リッチ曲率の下限、および $ \mu(g_i, 1/2) \geq A $ が一様に有界なコンパクトKähler-Ricciソリトンの部分列は、孤立特異点を有限個持つコンパクトな軌道多様体 $ (M_\infty, g_\infty) $ に収束する。
• 極限計量 $ g_\infty $ は、特異点を除く点で軌道的意味でのKähler-Ricciソリトンであり、ソリトン方程式を満たす。
• 各特異点の近傍では、局所的ゲージにおいて計量が $ \mathbb{C}^{n/2} $ 上の $ C^\infty $ Kähler-Ricciソリトンに滑らかに拡張され、軌道的正則性が確認される。
• 特異点近傍での曲率は、ある $ \delta \in (0,1) $ に対して $ |\mathrm{Rm}(g_\infty)|(x) \leq C r(x)^{-\delta} $ を満たし、制御された増大を示す。
• $ n = 4 $ の場合、ガウス・ボナケの公式により $ L^{n/2} $-有界性は自動的に成立するため、曲率の仮定を弱めることが可能である。
• 本結果は、Kähler-Einstein計量に対するAnderson-Tianのコンパクトネスを、より広いクラスのKähler-Ricciソリトンに一般化するものである。