[論文レビュー] The complexity of computing the minimum rank of a sign pattern matrix

Amey Bhangale, Swastik Kopparty|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 25被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、符号パターン行列の最小ランクを計算することが、最小ランクが3以下かどうかを判定する場合でさえもNP困難であることを確立している。著者らは、擬似直線配置の伸張可能性との新しい関連性を用いてこれを証明し、最小ランクが2以下かどうかを決定する多項式時間アルゴリズムを提供することで、[LMSS07]における未解決問題を解決している。

ABSTRACT

We show that computing the minimum rank of a sign pattern matrix is NP hard. Our proof is based on a simple but useful connection between minimum ranks of sign pattern matrices and the stretchability problem for pseudolines arrangements. In fact, our hardness result shows that it is already hard to determine if the minimum rank of a sign pattern matrix is $\leq 3$. We complement this by giving a polynomial time algorithm for determining if a given sign pattern matrix has minimum rank $\leq 2$. Our result answers one of the open problems from Linial et al. [Combinatorica, 27(4):439--463, 2007].

研究の動機と目的

• 符号パターン行列の最小ランクを計算する計算の複雑性を特定すること。
• 小規模な値（特に最小ランクの可 tractability）に関する[LMSS07]における未解決問題を解決すること。
• 計算幾何学における擬似直線配置の伸張可能性と符号パターン行列のランクとの間の構造的関連性を確立すること。
• 最小ランク ≤ 2 であるかどうかを検出する多項式時間アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 均一な擬似直線配置に関する構造的結果（補題2.3）を活用し、最小ランクの計算問題を擬似直線配置の伸張可能性問題に還元する。
• 擬似直線の伸張可能性問題がNP完全であることを踏まえ、minrank ≤ 3 かどうかを判定する問題のNP困難性を示す還元を用いる。
• 実行列を符号パターンに適合させるために、行および列の置換、符号反転、スケーリングを用い、ランク ≤ 2 の場合に正規化を行う。
• ゼロ要素を除去するために列分割変換を適用し、最小ランクを保存する。連続性の議論を用いてこの変換の正当性を裏付ける。
• 複数の行が同一のゼロパターンを持つ場合に冗長な行を削除する行削除手順を実装し、ランクおよび符号パターン構造を保存する。
• ゼロパターンの整合性や行・列の整合性などの構造的制約をチェックする多項式時間アルゴリズムを設計し、minrank > 2 を証明するか、minrank ≤ 2 を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号パターン行列の最小ランクを計算することはNP困難か？
• RQ2 小規模な値（例：ランク ≤ 2）に対して、符号パターン行列の最小ランクを多項式時間で計算できるか？
• RQ3 符号パターン行列のランクと擬似直線配置の伸張可能性との間に構造的関連性があるか？
• RQ4 一般化された符号パターン行列の最小ランクを定数倍の近似で得ることは可能か？
• RQ5 n×n の符号パターン行列の最小ランクの最大値は何か？

主な発見

• 符号パターン行列の最小ランクを計算することは、最小ランクが3以下かどうかを判定する場合でさえもNP困難である。
• 擬似直線配置の伸張可能性問題への還元により、問題がNP困難のままであることが保証されている。この問題は既にNP完全であることが知られている。
• 最小ランクが2以下であるかどうかを決定する多項式時間アルゴリズムが存在する。
• このアルゴリズムは、ゼロパターンの構造的チェックと行・列の整合性に基づき、ゼロを除去する列分割変換を用いる。この変換は最小ランクを変更しない。
• n×n の符号パターン行列の最小ランクはΘ(n)であるが、正確な定数係数は未解明のままである。
• 本論文は、[LMSS07]における未解決問題を解決し、最小ランク ≤ 2 を検出する多項式時間アルゴリズムを提供した。