[論文レビュー] The Complexity of Quantum States and Transformations: From Quantum Money to Black Holes

Scott Aaronson|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 51

ひとこと要約

本稿は、量子状態およびユニタリ変換の複雑さを、量子コンピューティングおよび量子重力の基礎的問題と結びつける包括的な理論枠組みを提示する。量子マネー方式、ブラックホール情報パラドックス、およびQMAやBQPといった計算複雑性クラスとの関連を確立し、特定の量子状態を準備したり適用したりする難易度が、PSPACE ⊄ PP/polyといった複雑性理論的仮定と深く結びついていることを示している。

ABSTRACT

These are lecture notes from a weeklong course in quantum complexity theory taught at the Bellairs Research Institute in Barbados, February 21-25, 2016. The focus is quantum circuit complexity---i.e., the minimum number of gates needed to prepare a given quantum state or apply a given unitary transformation---as a unifying theme tying together several topics of recent interest in the field. Those topics include the power of quantum proofs and advice states; how to construct quantum money schemes secure against counterfeiting; and the role of complexity in the black-hole information paradox and the AdS/CFT correspondence (through connections made by Harlow-Hayden, Susskind, and others). The course was taught to a mixed audience of theoretical computer scientists and quantum gravity / string theorists, and starts out with a crash course on quantum information and computation in general.

研究の動機と目的

• 量子状態の準備およびユニタリ変換の適用における計算複雑性を体系的に分析すること。
• 量子状態の複雑さを、公開鍵型量子マネーおよびコピー保護量子ソフトウェアといった実用的応用と結びつけること。
• 量子回路複雑さがブラックホール情報パラドックスおよびファイアウォールパラドックスに与える影響を検討すること。
• 可逆的および量子ゲート集合の分類を行い、その普遍性および複雑さの性質を理解すること。
• 状態準備およびユニタリ合成の複雑性理論的下界を確立し、それらを古典的複雑性クラスと結びつけること。

提案手法

• 量子状態およびユニタリ複雑さを分析するための中心的ケーススタディとして、隠れた部分群問題（HSP）を用いる。
• ソロバ-キタイエフ定理を適用して普遍的量子ゲート集合の近似を行い、回路合成を分析する。
• ハロウ-ヘイデンの議論を用いて、ブラックホールからの情報復元が計算的に困難であり、指数時間が必要であることを示す。
• QMA完全問題と結びつけるために、Qサンプリングおよび量子ウィtness状態の概念を導入する。
• ラティス理論および偶奇保存などの不変量を用いて、可逆的古典ゲートおよび量子ゲート集合の分類を構築する。
• AdS/CFT対応およびネスティング・ワームホール複雑さを用いて、量子回路複雑さと時空幾何学の関係を探索する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の量子状態を準備する難易度が、PSPACE ⊄ PP/polyといった古典的複雑性仮定と結びつけられるか。
• RQ2 公開鍵型量子マネーの偽造問題が、計算複雑性における難しい問題と同等か。
• RQ3 ファイアウォールパラドックスは、状態復元に指数的量子回路複雑さが必要であることを示すことで解決可能か。
• RQ4 キュービット上で作用する量子ゲート集合の完全なクラスは何か。また、その普遍性に関して、二分法定理を証明できるか。
• RQ5 量子アーキレットを含めると、可逆的ゲート集合の分類にどのような影響が生じるか。

主な発見

• ハロウ-ヘイデンの議論により、ブラックホールからの情報復元が計算的に困難であり、指数時間が必要であることが示され、複雑性理論的仮定のもとでファイアウォールパラドックスが解決される。
• 量子状態の準備の複雑さがQMA問題と等価であることが示され、量子サンプリングタスクから自然に生じるQMA完全なプロミス問題が得られる。
• 可逆的古典ゲートの分類が確立され、量子アーキレットを許容すると、6つのクラスにまで簡略化されることが示された。
• 本稿では、特定の不変量（例：mod kにおける偶奇保存）を保つ量子ゲート集合が非普遍的であり、特定の不変量に関して閉じていることを証明し、完全な分類が得られた。
• ユニタリ合成問題が形式化され、特定の仮定のもとで、ユニタリを記述から構築することはPSPACE問題を解くのと同程度の難易度であることが示された。
• AdS/CFTと量子回路複雑さの関係が形式化され、状態の複雑さがボリューム幾何におけるワームホールの長さに対応する可能性が示唆された。