[論文レビュー] The Complexity of Relating Quantum Channels to Master Equations

Toby S. Cubitt, Jens Eisert+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 33被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、与えられた量子チャネルがマーヴィアン型マスター方程式から生じるかどうかを特定すること——いわゆるマーヴィアン性問題——がNP困難であることを確立しており、P=NPでない限り、有効な基準は存在しないことを示している。著者らは整数半定値計画法への還元を提供し、固定された系次元に対しては1回のスナップショットで効率的に解けるようになることを示しており、これは現在の量子プロセストモグラフィー実験において実用的関連性を持つ。

ABSTRACT

Completely positive, trace preserving (CPT) maps and Lindblad master equations are both widely used to describe the dynamics of open quantum systems. The connection between these two descriptions is a classic topic in mathematical physics. One direction was solved by the now famous result due to Lindblad, Kossakowski Gorini and Sudarshan, who gave a complete characterisation of the master equations that generate completely positive semi-groups. However, the other direction has remained open: given a CPT map, is there a Lindblad master equation that generates it (and if so, can we find it's form)? This is sometimes known as the Markovianity problem. Physically, it is asking how one can deduce underlying physical processes from experimental observations. We give a complexity theoretic answer to this problem: it is NP-hard. We also give an explicit algorithm that reduces the problem to integer semi-definite programming, a well-known NP problem. Together, these results imply that resolving the question of which CPT maps can be generated by master equations is tantamount to solving P=NP: any efficiently computable criterion for Markovianity would imply P=NP; whereas a proof that P=NP would imply that our algorithm already gives an efficiently computable criterion. Thus, unless P does equal NP, there cannot exist any simple criterion for determining when a CPT map has a master equation description. However, we also show that if the system dimension is fixed (relevant for current quantum process tomography experiments), then our algorithm scales efficiently in the required precision, allowing an underlying Lindblad master equation to be determined efficiently from even a single snapshot in this case. Our work also leads to similar complexity-theoretic answers to a related long-standing open problem in probability theory.

研究の動機と目的

• 与えられた完全正則でトレースを保存する（CPT）写像が、リンブレートマスター方程式によって生成可能かどうかを特定する長年の未解決問題を解明すること。
• 量子開放系におけるマーヴィアン性問題の計算複雑性を確立すること。
• 古典的類似問題であるストキャスティック行列の埋め込み問題に対し、複雑性理論的分析を拡張すること。
• 系次元が固定された場合に、マーヴィアン性問題を効率的に解くアルゴリズムを提供すること。これは現在の実験的設定において関連性がある。
• NP困難性の物理的推論への影響を明確にし、実験データから背後に隠れたマーヴィアン的ダイナミクスを同定する可能性について考察すること。

提案手法

• マーヴィアン性問題を、既知のNP完全問題である整数半定値計画法へ還元すること。
• 特定のスペクトル性質を持つ量子CPT写像に、1-in-3SAT問題の多項式時間で計算可能な符号化を構築すること。
• 摂動論を用いて、有効なリンブレート生成子のみが論理的充足可能性を符号化するように保証すること。
• 対数行列表現と弱-membership定式化を用いて、CPT写像とその生成子候補との関係を確立すること。
• 量子還元技術をストキャスティック行列の埋め込み問題への適用に適応すること。
• リンブレート生成子によって生成されるCPT写像の集合が内部を有することを活用し、摂動解析を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CPT写像がリンブレートマスター方程式によって生成可能かどうかの必要十分条件は存在するか？
• RQ2 与えられたCPT写像がマーヴィアン的であるかどうかを特定する計算複雑性は何か？
• RQ3 ストキャスティック行列の埋め込み問題は、既知のNP困難問題に還元可能か？
• RQ4 マーヴィアン性問題の複雑性は系次元に依存するか？もしそうなら、どのように依存するか？
• RQ5 1回の量子プロセストモグラフィーのスナップショットから、リンブレート生成子を効率的に再構成するアルゴリズムは存在するか？

主な発見

• CPT写像のマーヴィアン性問題はNP困難であり、P=NPでない限り、有効な計算可能基準は存在しない。
• 連続時間マーヴィアン過程に埋め込み可能なストキャスティック行列かどうかを特定する問題についても、NP困難である。
• 明示的なアルゴリズムにより、マーヴィアン性問題が整数半定値計画法に還元され、固定次元における構成的解法が得られる。
• 系次元が固定された場合、必要な精度に対して、アルゴリズムは有効にスケーリングされ、1回のスナップショットからの実用的再構成が可能になる。
• マーヴィアン的および非マーヴィアン的CPT写像の両方の集合は、有限次元空間において空でない内部と正の測度を持つ。
• 古典的埋め込み問題は、量子マーヴィアン性問題と同等の複雑性を持ち、両者ともP=NPを解くことに同等である。