[論文レビュー] The computation of the classes of some tori in the Grothendieck ring of varieties

Karl Rökaeus|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2007

Commutative Algebra and Its Applications被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、次元 $ n $ の分離的 $ k $-代数 $ L $ の可逆元のなす乗法的群 $ L^* $ のクラスについて、代数的多様体のグロテンディーク環 $ \operatorname{K_0}(\mathsf{Var}_k) $ における公式を確立する。$ \lambda $-環構造と絶対ガロア群のバーンサイド環からの準同型を用いて、$[L^*] = \sum_{i=0}^n (-1)^i \lambda^i([\operatorname{Spec} L]) \mathbb{L}^{n-i}$ を証明する。ここで $ \mathbb{L} $ はアフィン直線のクラスである。

ABSTRACT

We establish a formula for the classes of certain tori in the Grothendieck ring of varieties, in terms of its lambda-structure. More explicitly, we will see that if L* is the torus of invertible elements in the n-dimensional separable k-algebra L, then the class of L* can be expressed as an alternating sum of the images of the spectrum of L under the lambda-operations, multiplied by powers of the Lefschetz class. This formula is suggested from the cohomology of the torus, illustrating a heuristic method that can be used in other situations. To prove the formula will require some rather explicit calculations in the Grothendieck ring. To be able to make these we introduce a homomorphism from the Burnside ring of the absolute Galois group of k, to the Grothendieck ring of varieties over k. In the process we obtain some information about the structure of the subring generated by zero-dimensional varieties.

研究の動機と目的

• 分離的 $ k $-代数 $ L $ の乗法的群 $ L^* $ のクラスがグロテンディーク環 $ \operatorname{K_0}(\mathsf{Var}_k) $ において正確にどのように表されるかを導出すること。
• トーラスのコホモロジー的構造と $ \operatorname{K_0}(\mathsf{Var}_k) $ におけるクラスとの間の関係を $ \lambda $-環の作用を通じて確立すること。
• 絶対ガロア群のバーンサイド環から $ \operatorname{K_0}(\mathsf{Var}_k) $ への $ \lambda $-準同型を導入・利用し、明示的な計算を可能にする。
• $ \operatorname{K_0}(\mathsf{Var}_k) $ に生成される次元 0 のスキームの部分環、いわゆるアーチンクラス環 $ \operatorname{ArtCl}_k $ を特徴付けること。

提案手法

• 絶対ガロア群 $ \mathcal{G} $ を持つ $ k $ に対して、$ \lambda $-準同型 $ \operatorname{Art}_k: \mathcal{B}(\mathcal{G}) \to \operatorname{K_0}(\mathsf{Var}_k) $ を定義し、ガロア表現とグロテンディーク環内のクラスとを関連付ける。
• $ \operatorname{K_0}(\mathsf{Var}_k) $ における $ \lambda $-環構造を用いて、トーラスのコホモロジー的公式をクラスのレベルにまで上昇させる。
• $ L^* $ をアフィン空間 $ \widetilde{L} $ に埋め込み、補集合 $ \widetilde{L} \setminus L^* $ における帰納的関係を導出する。
• $ \mathbb{F}_q $ 上の有限体における点数の計算を用い、$ L^* $ の有理点の数と提案された公式を生成関数を用いて比較し、等価性を検証する。
• 先行研究から得られるバーンサイド環における $ \lambda $-作用の普遍的公式を用いて、$ \lambda^i([\operatorname{Spec} L]) $ の計算を簡略化する。
• コンpakトなコホモロジー的オイラー標数が $ \operatorname{K_0}(\mathsf{Var}_k) $ を通して因数分解されることを活用し、コホモロジー的類似性に基づいたヒューリスティックな根拠を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離的 $ k $-代数 $ L $ の乗法的群 $ L^* $ のグロテンディーク環における正確なクラスは何か？
• RQ2 トーラスのコホモロジー的構造、特にその $ \lambda $-作用が、どのようにグロテンディーク環に上昇されるか？
• RQ3 次元 0 のスキームによって生成される $ \operatorname{K_0}(\mathsf{Var}_k) $ の部分環の構造は何か？また、ガロア表現とどのように関係しているか？
• RQ4 $ \lambda $-作用の普遍的公式に依存せずに、公式 $[L^*] = \sum_{i=0}^n (-1)^i \lambda^i([\operatorname{Spec} L]) \mathbb{L}^{n-i}$ を証明できるか？
• RQ5 $ \mathbb{F}_q $ 上の有限体における点数の計算が、$ \operatorname{K_0}(\mathsf{Var}_k) $ における提案された公式をどのように検証するか？

主な発見

• グロテンディーク環 $ \operatorname{K_0}(\mathsf{Var}_k) $ におけるトーラス $ L^* $ のクラスは、$[L^*] = \sum_{i=0}^n (-1)^i \lambda^i([\operatorname{Spec} L]) \mathbb{L}^{n-i}$ で与えられる。ここで $ \mathbb{L} $ はアフィン直線のクラスである。
• $ \lambda $-準同型 $ \operatorname{Art}_k $ の像は、次元 0 の多様体によって生成される部分環 $ \operatorname{ArtCl}_k $ に含まれる。
• $ k $ が完備で、絶対ガロア群が巡回群であるとき、$ \operatorname{ArtCl}_k $ は $ k $ の有限分離的体拡張のクラスによって生成される自由アーベル群である。
• 点数の計算により公式が検証される：$ L = \prod_{j=1}^m \mathbb{F}_{q^{n_j}} $ に対して、$ L^* $ の $ \mathbb{F}_q $-有理点の数は $ \prod_{j=1}^m (q^{n_j} - 1) $ に一致し、公式の評価と一致する。
• 生成関数の等式 $ \prod_{j=1}^m (X^{n_j} - 1) = \sum_{i=0}^n (-1)^i C_\sigma \operatorname{h}(\ell_i) X^{n-i} $ がバーンサイド環で成り立つことから、公式が正当化される。
• 普遍的公式を避けるために、先行研究の簡単な結果と点数の計算を用いることで、バーンサイド環における完全な普遍的 $ \lambda $-構造に依存しない形で公式を独立に確立した。