[論文レビュー] The Computational Advantage of MIP* Vanishes in the Presence of Noise

Yangjing Dong, Honghao Fu+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、量子多プローバーインタラクティブ証明系（MIP*）において、もつれが存在する場合、共有EPR状態にノイズが導入されると、その計算的優位性を失うことを示している。任意に小さいノイズでさえも、複雑性クラスをRE（決定不能問題）からNEXPにまで縮小させ、もつれの力を完全に消失させることを示している。この結果は、ノイズがMIP*の優位性を消失させ、ノイズなしのもつれが保たれる場合にのみ、その優位性が維持されることを示す鋭い閾値を確立している。

ABSTRACT

Quantum multiprover interactive proof systems with entanglement MIP* are much more powerful than its classical counterpart MIP (Babai et al. '91, Ji et al. '20): while MIP = NEXP, the quantum class MIP* is equal to RE, a class including the halting problem. This is because the provers in MIP* can share unbounded quantum entanglement. However, recent works of Qin and Yao '21 and '23 have shown that this advantage is significantly reduced if the provers' shared state contains noise. This paper attempts to exactly characterize the effect of noise on the computational power of quantum multiprover interactive proof systems. We investigate the quantum two-prover one-round interactive system MIP*[poly, O(1)], where the verifier sends polynomially many bits to the provers and the provers send back constantly many bits. We show noise completely destroys the computational advantage given by shared entanglement in this model. Specifically, we show that if the provers are allowed to share arbitrarily many noisy EPR states, where each EPR state is affected by an arbitrarily small constant amount of noise, the resulting complexity class is equivalent to NEXP = MIP. This improves significantly on the previous best-known bound of NEEEXP (nondeterministic triply exponential time) by Qin and Yao '21. We also show that this collapse in power is due to the noise, rather than the O(1) answer size, by showing that allowing for noiseless EPR states gives the class the full power of RE = MIP*[poly, poly]. Along the way, we develop two technical tools of independent interest. First, we give a new, deterministic tester for the positivity of an exponentially large matrix, provided it has a low-degree Fourier decomposition in terms of Pauli matrices. Secondly, we develop a new invariance principle for smooth matrix functions having bounded third-order Fréchet derivatives or which are Lipschitz continous.

研究の動機と目的

• もつれを伴う量子多プローバーインタラクティブ証明系の計算的パワーに及ぼすノイズの影響を正確に特定すること。
• MIP*[poly, O(1)]モデルにおける現実的なノイズ条件下で、MIP*の量子優位性が頑健であるかどうかを特定すること。
• MIP*がNEXPに収束する原因が、O(1)の答えサイズか、ノイズかを解明すること。
• ノイズのある非局所ゲームに応用可能な、新たな解析的手法—特に、低次数の行列に対する正定値性テスト機と、行列関数の不変性原理—を開発すること。

提案手法

• パウリ行列における低次数のフーリエ展開を持つ、指数関数的に大きな行列の正定値性を検出する決定的かつ低複雑度のテスト機を開発した。
• 3階のフレシェ微分が有界またはリプシッツ連続性を持つ滑らかな行列関数のための新しい不変性原理を導入した。
• ノイズ下での量子相関を擬似ランダム性を用いてシミュレートするために、確率的でない不変性原理を応用した。
• 非局所ゲームにおける答えの短縮にハダマード符号を用い、正当性を保ちながら答えサイズを最小限に抑えた。
• オラクル化、並列反復、反復的答えの短縮を組み合わせ、O(1)の答えサイズとpoly(n)の時間計算量を持つプロトコルを構築した。
• 定数ノイズ率を有するノイズのあるEPR状態は、MIP*[poly, O(1)]をNEXPに縮小させることを証明したが、ノイズなしのEPR状態はMIP*の完全なパワー（すなわち、RE）を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共有EPR状態に任意に小さいノイズが存在する場合、MIP*の量子優位性は消失するか？
• RQ2 MIP*がNEXPに収束するのは、ノイズのためか、MIP*[poly, O(1)]モデルにおけるO(1)の答えサイズ制約のためか？
• RQ3 低次数のパウリ展開を持つ指数関数的に大きな行列に対して、決定的正定値性テスト機を構築可能か？
• RQ4 ノイズおよび擬似ランダムサンプリング下で、滑らかな行列関数の挙動を支配する不変性原理は何か？
• RQ5 答えの短縮技術を強化することで、ノイズのあるMIP*プロトコルにおいて、O(1)の答えサイズを達成しながら、poly(n)時間計算量を維持可能か？

主な発見

• EPR状態におけるノイズ—任意に小さい定数ノイズですら—MIP*の量子優位性を完全に消失させ、複雑性クラスをNEXPにまで縮小させる。
• ノイズのあるEPR状態を有するMIP*[poly, O(1)]モデルは、MIP = NEXPと等価であり、以前の上限であるNEEEXPを改善している。
• ノイズなしのEPR状態はMIP*の完全なパワーを維持し、RE = MIP*[poly, poly]を達成しており、ノイズがMIP*の収縮の主因であることが確認された。
• 低次数のパウリ展開を持つ行列に対する、入力サイズの多項式時間で動作する新しい決定的正定値性テスト機が開発された。
• 3階のフレシェ微分が有界またはリプシッツ連続性を持つ行列関数のための新しい不変性原理が確立され、ノイズ下でも安定した解析が可能になった。
• ハダマード符号とオラクル化を用いた反復的答え短縮により、O(1)の答えサイズ、poly(n)の質問サイズ、poly(n)の時間計算量を持つプロトコルが、ノイズ下でも構築可能となった。