[論文レビュー] The Computational Complexity of the Restricted Isometry Property, the Nullspace Property, and Related Concepts in Compressed Sensing

Andreas M. Tillmann, Marc E. Pfetsch|arXiv (Cornell University)|May 9, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、与えられた行列に対する制限等長性定数（RIC）および核空間定数（NSC）を計算することはNP困難であることを確立し、圧縮センシング分野における長年の予想を裏付けた。著者らは、行列のスパークを計算することはNP困難であることを証明し、これは主要なスパース復元条件の計算困難性の根拠となる。また、RIPおよびNSP定数の正確な計算は、P = NPでない限り、擬似多項式時間で行えないことを示した。

ABSTRACT

This paper deals with the computational complexity of conditions which guarantee that the NP-hard problem of finding the sparsest solution to an underdetermined linear system can be solved by efficient algorithms. In the literature, several such conditions have been introduced. The most well-known ones are the mutual coherence, the restricted isometry property (RIP), and the nullspace property (NSP). While evaluating the mutual coherence of a given matrix is easy, it has been suspected for some time that evaluating RIP and NSP is computationally intractable in general. We confirm these conjectures by showing that for a given matrix A and positive integer k, computing the best constants for which the RIP or NSP hold is, in general, NP-hard. These results are based on the fact that determining the spark of a matrix is NP-hard, which is also established in this paper. Furthermore, we also give several complexity statements about problems related to the above concepts.

研究の動機と目的

• 制限等長性定数（RIC）および核空間定数（NSC）を計算することは計算的に困難であるという長年の予想を解消すること。
• ℓ₁最小化による正確なスパース復元を保証する基本的条件（RIP、NSP、スパーク）の計算複雑性を確立すること。
• 行列が与えられた定数未満のRIPまたはNSPを満たすかどうかを検証することはcoNP完全であることを示すこと。
• 行列のスパークを計算することはNP困難であることを示し、これはRICおよびNSCの困難性の基礎的結果である。
• 復元定数の正確な計算が一般には不可能であるため、近似アルゴリズムやヒューリスティクスの使用に理論的根拠を与えること。

提案手法

• スパークの計算問題を制限等長性定数（RIC）の計算に還元することで、RIC計算のNP困難性を証明した。
• 正確被覆問題からの還元を用いて、行列のスパーク ≤ k であるかどうかを判定することはNP完全であることを示した。
• 核空間性質（NSP）が定数 αₖ < 1 で成り立つかどうかを検証することはcoNP完全であることを証明し、NSCの計算のNP困難性を示した。
• RICがkに関して単調増加であることを利用し、NSC計算のためのサンドイッチ法を設計したが、ブルートフォースより改善は保証されない。
• P = NPでない限り、RICを擬似多項式時間で計算できるアルゴリズムは存在しないことを、複雑性理論的議論を用いて示した。
• 相互コherence、スパーク、RICの既知の境界を用いて、効率的に計算可能な代替手法の限界を文脈づけた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた行列Aとスパースリティレベルkに対して、制限等長性定数（RIC）δ̲ₖを計算することは計算的に困難か？
• RQ2 行列が定数αₖ < 1 で核空間性質（NSP）を満たすかどうかを検証することはcoNP完全な問題か？
• RQ3 行列のスパーク、すなわち線形従属となる最小の列数を求める問題はNP困難か？
• RQ4 RICまたはNSCは擬似多項式時間で計算可能か？ その複雑性理論的含意は何か？
• RQ5 RICまたはNSCを定数倍の近似誤差で近似計算する際の計算複雑性は何か？ また、強い近似不可能性結果は得られるか？

主な発見

• 与えられた行列Aと整数kに対して、制限等長性定数（RIC）δ̲ₖを計算することはNP困難である。
• 核空間性質（NSP）が定数αₖ < 1 で成り立つかどうかを検証することはcoNP完全である。これはNSCの計算がNP困難であることを示唆する。
• 行列のスパーク（線形従属となる最小の列数）を計算することはNP困難である。
• P = NPでない限り、RIC δ̲ₖを擬似多項式時間で計算できるアルゴリズムは存在しない。
• これらの結果は、一般に正確な計算が不可能であるため、RICおよびNSCの近似アルゴリズムやヒューリスティクスの使用に理論的根拠を与える。
• これらの困難性結果は有理数行列に対しても成り立ち、定数γ < 1 に対しては複雑性が未解決のままだが、現在の結果は理論的保証として十分に強い。