[論文レビュー] The congruence subgroup property for the hyperelliptic modular group

Marco Boggi|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$n \geq 1$ のとき、超楕円モジュラー群 $H_{g,n}$ に対して合同部分群性質が成り立つことを確認している。すなわち、$H_{g,n}$ の任意の有限指数部分群が、基本群の有限指数特徴的部分群を modulo したときの自然な表現の核を含むことを証明している。

ABSTRACT

Let ${\cal M}_{g,n}$ and ${\cal H}_{g,n}$, for $2g-2+n>0$, be, respectively, the moduli stack of $n$-pointed, genus $g$ smooth curves and its closed substack consisting of hyperelliptic curves. Their topological fundamental groups can be identified, respectively, with $\Gamma_{g,n}$ and $H_{g,n}$, the so called Teichm{u}ller modular group and hyperelliptic modular group. A choice of base point on ${\cal H}_{g,n}$ defines a monomorphism $H_{g,n}\hookrightarrow\Gamma_{g,n}$. Let $S_{g,n}$ be a compact Riemann surface of genus $g$ with $n$ points removed. The Teichmuller group $\Gamma_{g,n}$ is the group of isotopy classes of diffeomorphisms of the surface $S_{g,n}$ which preserve the orientation and a given order of the punctures. As a subgroup of $\Gamma_{g,n}$, the hyperelliptic modular group then admits a natural faithful representation $H_{g,n}\hookrightarrow\operatorname{Out}(\pi_1(S_{g,n}))$. The congruence subgroup problem for $H_{g,n}$ asks whether, for any given finite index subgroup $H^\lambda$ of $H_{g,n}$, there exists a finite index characteristic subgroup $K$ of $\pi_1(S_{g,n})$ such that the kernel of the induced representation $H_{g,n} o\operatorname{Out}(\pi_1(S_{g,n})/K)$ is contained in $H^\lambda$. The main result of the paper is an affirmative answer to this question for $n\geq 1$.

研究の動機と目的

• 超楕円モジュラー群 $H_{g,n}$ が合同部分群性質を満たすかどうかを調査すること。
• $H_{g,n}$ の任意の有限指数部分群が、$\pi_1(S_{g,n})$ の有限指数特徴的部分群を modulo した表現の核として現れるかどうかを特定すること。
• 外自己同型群表現を通じて、$H_{g,n}$ の有限指数部分群と $\pi_1(S_{g,n})$ の商との間の構造的関係を確立すること。
• 完全なテイヒミュラー・モジュラー群に対する合同部分群問題を、超楕円部分群へと拡張すること。

提案手法

• 自然な単射 $H_{g,n} \hookrightarrow \Gamma_{g,n}$ を用い、$H_{g,n}$ をテイヒミュラー・モジュラー群の部分群として同定する。
• 穴あき曲面の基本群への作用によって誘導される忠実な表現 $H_{g,n} \hookrightarrow \operatorname{Out}(\pi_1(S_{g,n}))$ を用いる。
• $\pi_1(S_{g,n})$ の有限指数特徴的部分群 $K$ に対して、誘導された表現 $H_{g,n} \to \operatorname{Out}(\pi_1(S_{g,n})/K)$ を分析する。
• 群論的技法を適用し、任意の有限指数部分群 $H^\lambda \leq H_{g,n}$ が、適切な $K$ に対してそのような表現の核を含むことを示す。
• モジュライスタック $\mathcal{H}_{g,n}$ 及びその基本群 $H_{g,n}$ の位相的・算術的構造に依拠する。
• 基本群が非可換かつ非自明になるように、表面が十分に非退化であることを保証するため、条件 $2g - 2 + n > 0$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超楕円モジュラー群 $H_{g,n}$ の任意の有限指数部分群は、$\pi_1(S_{g,n})$ の有限指数特徴的部分群 $K$ に対して、表現 $H_{g,n} \to \operatorname{Out}(\pi_1(S_{g,n})/K)$ の核を含むか？
• RQ2 $n \geq 1$ のとき、$H_{g,n}$ は合同部分群性質を満たすか？
• RQ3 $H_{g,n}$ が $\Gamma_{g,n}$ の部分群としての構造が、その合同部分群の性質にどのように影響を与えるか？
• RQ4 外自己同型作用を通じて、$H_{g,n}$ の有限指数部分群と $\pi_1(S_{g,n})$ の商との関係は何か？

主な発見

• 合同部分群性質は、$n \geq 1$ のとき超楕円モジュラー群 $H_{g,n}$ に対して成り立つ。これは主な予想を裏付ける。
• 任意の有限指数部分群 $H^\lambda \leq H_{g,n}$ に対して、$\ker(H_{g,n} \to \operatorname{Out}(\pi_1(S_{g,n})/K)) \leq H^\lambda$ を満たす有限指数特徴的部分群 $K \trianglelefteq \pi_1(S_{g,n})$ が存在する。
• 表現 $H_{g,n} \to \operatorname{Out}(\pi_1(S_{g,n}))$ は忠実であるため、外自己同型群の商を用いて有限指数部分群を検出できる。
• この結果により、基本群 $\pi_1(S_{g,n})$ の算術と $H_{g,n}$ の部分群構造との間に深い関係が確立される。
• 条件 $2g - 2 + n > 0$ により、表面が一般型となり、基本群が非可換かつ適切な合同部分群解析に適した性質を有することが保証される。
• 証明は、特に $n \geq 1$ の場合に、モジュライスタック $\mathcal{H}_{g,n}$ 及びその基本群 $H_{g,n}$ の位相的・幾何的性質に強く依存している。