[論文レビュー] The conjugacy growth of the soluble Baumslag-Solitar groups

Laura Ciobanu, Alex Evetts+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$k \geq 2$ に対する可解なバウムスラッグ＝ソリター群 $BS(1,k)$ における測地的共役代表元の完全な記述を提供し、それらの共役成長級数を明示的に計算するとともに、その級数が超越的であることを証明する。さらに、これらの群において共役成長率と標準成長率が一致することを示し、非バナッハ的アーベル群の広いクラスにおける予想を裏付ける。

ABSTRACT

In this paper we give asymptotics for the conjugacy growth of the soluble Baumslag-Solitar groups $BS(1,k)$, $k\geq 2$, with respect to the standard generating set, by providing a complete description of geodesic conjugacy representatives. We show that the conjugacy growth series for these groups are transcendental, and give formulas for the series. As a result of our computation we also establish that in each $BS(1,k)$ the conjugacy and standard growth rates are equal.

研究の動機と目的

• 可解なバウムスラッグ＝ソリター群 $BS(1,k)$（$k \geq 2$）における共役成長関数の漸近的挙動を特定すること。
• 標準的生成集合 $\{a,t\}$ に関する $BS(1,k)$ における測地的共役代表元の完全な特徴付けを提供すること。
• 共役成長級数を明示的に計算し、その超越的性質を確立すること。
• $BS(1,k)$ において共役成長率と標準成長率が一致することを確認し、有限生成群における成長に関する広範な予想を支援すること。

提案手法

• 著者らは、$BS(1,k) \cong \mathbb{Z}_k \rtimes \mathbb{Z}$ における標準形を用いて、測地的共役代表元を分類する。
• 彼らは、正規アーベル部分群 $\mathbb{Z}_k$ 内の共役類と外部のものに共役類を分解し、それぞれを別々に分析する。
• 外部の要素に対しては、記号的組合せ論におけるサイクル構成を適用し、巡回置換による代表元の数を数える。
• 生成関数は、$\mathcal{S}(z)$ を代表元の集合の生成関数とするとき、$\sum_{k=1}^\infty \frac{-\phi(k)}{k} \log(1 - \mathcal{S}(z^k))$ の対数公式を用いて導出する。
• 共役成長級数は、$\mathbb{Z}_k$ と外部共役類の級数を組み合わせ、重複して数え上げた要素を差し引くことで構成される。
• 級数の超越的性質は、$c(n) \sim \alpha^n / n$（$\alpha > 1$）を示す漸近的解析により確立される。これは非代数的であることの意味を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的生成集合に関して、$BS(1,k)$ における共役類の数の正確な漸近的成長率は何か？
• RQ2 $BS(1,k)$ の共役成長級数は超越的であるか。もしそうならば、その閉形式は何か？
• RQ3 $BS(1,k)$ において共役成長率と標準成長率は一致するか。これはすべての生成集合に対して成り立つか？
• RQ4 $BS(1,k)$ の共役成長級数は、測地的代表元における組合せ論的技法を用いて完全に記述可能か？
• RQ5 $BS(1,k)$ における共役成長級数の超越的性質は、唯一のバナッハ的アーベル群にのみ有理的共役成長級数を持つという予想を支持するか？

主な発見

• $BS(1,k)$ の標準的生成集合 $\{a,t\}$ における共役成長級数は、$\alpha > 1$ に対して $c(n) \sim \alpha^n / n$ の漸近的挙動を示すことで、超越的であることが示された。
• $BS(1,k)$ において共役成長率と標準成長率は一致しており、生成関数の分母の支配的根と群の成長率を比較することで確認された。
• 奇数 $k = 2r+1$ の場合、$\mathbb{Z}_k$ 外の共役類の生成関数は、$\mathcal{S}_o(z)$ を長さ $(r+1)$ の語の集合の生成関数とするとき、$Cyc(\mathcal{A}_o)(z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{-\phi(k)}{k} \log(1 - \mathcal{S}_o(z^k))$ で与えられる。
• 偶数 $k = 2r$ の場合、生成関数は $Cyc(\mathcal{A}_e)(z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{-\phi(k)}{k} \log(1 - \mathcal{S}_e(z^k))$ で与えられ、$\mathcal{S}_e(z)$ は制約付き代表元の集合上で定義される。
• $BS(1,k)$ の完全な共役成長級数は、$\mathbb{Z}_k$ の級数と外部クラスの級数を足し合わせ、標準形から重複して数え上げた要素を差し引くことで得られる。
• 結果として、$BS(1,k)$ はアシリンジカルに双曲的でないにもかかわらず、双曲的およびアシリンジカルに双曲的な群と同様の共役成長漸近的挙動を示すことが確認され、成長級数に関する広範な予想を支持する。