[論文レビュー] The Consistency of a Bounded, Self-Adjoint Time Operator Canonically Conjugate to a Hamiltonian with Non-empty Point Spectrum

Eric A. Galapon|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 1999

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 4被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、パウリの定理に挑戦し、非空な点スペクトル（例えば、非有界、半有界、または有限可算なスペクトルを有する）を持つハミルトニアンと共役な有界で自己共役な時間演算子の整合性を、厳密に示している。その根拠は、ユニタリな時間発展演算子 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $ が、ハミルトニアンの固有値の差に一致する $ \beta $ 値に対してのみ定義可能であることを示し、パウリの元々の仮定における矛盾を回避していることにある。

ABSTRACT

Pauli's well known theorem (W. Pauli, Hanbuch der Physik vol. 5/1, ed. S. Flugge, (1926) p.60) asserts that the existence of a self-adjoint time operator canonically conjugate to a given Hamiltonian implies that the time operator and the Hamitlonian posses completely continuous spectra spanning the entire real line. Thus the conclusion that there exists no self-adjoint time operator conjugate to a Hamiltonian with a spectrum which is a proper subspace of the real line. But we challenge this conclusion. We show rigourously the consitency of assuming a bounded, self-adjoint time operator conjugate to a Hamiltonian with an unbounded, or semibounded, or finitely countable point spectrum. Pauli implicitly assumed unconditionally that the domain of the Hamiltonian is invariant under the action of $U_\\beta=\\exp(-i\\beta T)$, where $T$ is the time operator, for arbitrary real number $\\betaA$. But we show that the $\\beta$'s are at most the differences of the eigenvalues of the Hamiltonian. And this happens, under some other conditions, when the Hamiltonian has a non-empty point spectrum extending from negative to positive infinity. For a Hamiltonian with a simibounded or finitely countable point spectrum, we show that no $U_\\beta$. We demonstrate our claim by giving an explicit example.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンのスペクトルが全実数でない場合、自己共役な時間演算子が存在し得ないというパウリの定理の広く受け入れられている結論に反論すること。
• 点スペクトルを有するハミルトニアンと共役な時間演算子を必要とする物理的モデルと、パウリの定理との間にある顕著な矛盾を解消すること。
• ハミルトニアンに非空な点スペクトルが存在する場合、パウリの証明における「定義域の不変性」仮定が誤りであることを示すこと。
• 非有界または半有界なスペクトルを有するハミルトニアンと整合する有界で自己共役な時間演算子の明示的例を構築すること。
• ユニタリ群 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $ の有効範囲を明確にし、それが固有値の差に対応する $ \beta $ 値に制限されることを示すこと。

提案手法

• 有界で自己共役な時間演算子に対して、正規化されたスペクトル的枠組みで、標準的交換関係 $ [T, H] = i\hbar $ を再表現すること。
• ユニタリ群 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $ を分析し、それがハミルトニアンの固有値の差に対応する $ \beta $ 値に対してのみ定義可能であることを証明すること。
• スペクトル論を用いて、任意の $ \beta $ に対して $ U_\beta $ がハミルトニアンの定義域を不変に保たないことを示し、パウリの暗黙の仮定に反することを明らかにすること。
• 非空な点スペクトルを有するハミルトニアンと、標準的交換関係を満たす有界で自己共役な時間演算子の明示的例を構築すること。
• 半有界または有限可算な点スペクトルを有するハミルトニアンに対しては、有限個の $ \beta $ 値を除いて、非自明な $ U_\beta $ は存在しないことを示すこと。
• 関数計算およびスペクトル測度を用いて、$ U_\beta $ がヒルベルト空間上でどのように作用するかを厳密に定義し、交換関係を満たすことを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非空な点スペクトルを有するハミルトニアンと、共役な有界で自己共役な時間演算子が、整合的であるとは言えるか？
• RQ2 時間演算子 $ T $ に対して、ユニタリ群 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $ がどのように定義可能になるかの条件は何か？
• RQ3 ハミルトニアンに離散スペクトルが存在する場合、パウリの定理は成立しなくなり、その理由は何か？
• RQ4 ハミルトニアンの定義域上で $ U\_\beta $ が対称性を果たす最大の $ \beta $ 値の集合は何か？
• RQ5 非有界または半有界なスペクトルを有するハミルトニアンと、標準的交換関係を満たす有界時間演算子を持つ明示的モデルを構築可能か？

主な発見

• 非空な点スペクトル（非有界または半有界スペクトルを含む）を有するハミルトニアンと、有界で自己共役な時間演算子が整合的であることは可能である。
• ユニタリ群 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $ は、ハミルトニアンの固有値の差に対応する $ \beta $ 値に対してのみ定義可能であり、任意の実数 $ \beta $ に対しては成立しない。
• パウリの元々の結論は、誤った仮定に依存している：すなわち、すべての実数 $ \beta $ に対して $ U_\beta $ がハミルトニアンの定義域を不変に保つと仮定しているが、これはスペクトルが離散的である場合には成立しない。
• 有限可算または半有界な点スペクトルを有するハミルトニアンに対しては、有限個の $ \beta $ 値を除いて、非自明な $ U_\beta $ は存在しない。
• 標準的交換関係 $ [T, H] = i\hbar $ が成り立ち、$ T $ が有界で自己共役である明示的例が構築可能である。
• 時間演算子のスペクトル測度は有界区間上に台を持つため、$ T $ が有界であることに整合しており、一方でハミルトニアンのスペクトルは無限にまで延び続ける可能性がある。